Упр.216 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Найдите все пары натуральных чисел, разность квадратов которых равна $$55$$.

Пусть $$x$$ и $$y$$ — натуральные числа, причём $$x>y$$. Тогда

$$x^2-y^2=55$$

Разложим разность квадратов на множители:

$$(x-y)(x+y)=55$$

Число $$55$$ раскладывается на произведение натуральных множителей двумя способами:

1. $$x-y=5,\quad x+y=11$$
2. $$x-y=1,\quad x+y=55$$

Решим каждую систему:

$$\begin{aligned} x-y=5 \\ x+y=11 \end{aligned} \Rightarrow 2x=16 \Rightarrow x=8,\quad y=3$$

$$\begin{aligned} x-y=1 \\ x+y=55 \end{aligned} \Rightarrow 2x=56 \Rightarrow x=28,\quad y=27$$

Следовательно, искомые пары натуральных чисел:

$$(8,\,3) \text{ и } (28,\,27)$$

Ответ

$$8 \text{ и } 3,\; 28 \text{ и } 27$$