Упр.216 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 216. Найдите n-ю производную функции y=1/(x^2-3x+2).

Разложим знаменатель на множители:

$$ y=\frac{1}{x^2-3x+2}=\frac{1}{(x-1)(x-2)}. $$

Представим дробь в виде суммы простых дробей:

$$ \frac{1}{(x-1)(x-2)}=\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-1}. $$

Тогда

$$ y=\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-1}. $$

Найдём несколько первых производных:

$$ y’=-\frac{1}{(x-2)^2}+\frac{1}{(x-1)^2}, $$

$$ y»=2\left(\frac{1}{(x-2)^3}-\frac{1}{(x-1)^3}\right), $$

$$ y»’=-2\cdot 3\left(\frac{1}{(x-2)^4}-\frac{1}{(x-1)^4}\right). $$

По этой закономерности получаем формулу для $n$-й производной:

$$ y^{(n)}=(-1)^n n!\left(\frac{1}{(x-2)^{n+1}}-\frac{1}{(x-1)^{n+1}}\right). $$

Ответ

$$ y^{(n)}=(-1)^n n!\left(\frac{1}{(x-2)^{n+1}}-\frac{1}{(x-1)^{n+1}}\right). $$