Упр.215 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) $$f(x)=\frac{x^3-3x}{1+4x^5}$$

По правилу производной частного:

$$f'(x)=\frac{(x^3-3x)'(1+4x^5)-(x^3-3x)(1+4x^5)’}{(1+4x^5)^2}$$

$$f'(x)=\frac{(3x^2-3)(1+4x^5)-(x^3-3x)\cdot 20x^4}{(1+4x^5)^2}$$

$$f'(x)=\frac{3x^2-3+12x^7-12x^5-20x^7+60x^5}{(1+4x^5)^2} =\frac{-8x^7+48x^5+3x^2-3}{(1+4x^5)^2}$$

б) $$f(x)=\left(\frac{3}{x}+x^2\right)(2-\sqrt{x})$$

Найдём производную по правилу произведения:

$$f'(x)=\left(\frac{3}{x}+x^2\right)'(2-\sqrt{x})+\left(\frac{3}{x}+x^2\right)(2-\sqrt{x})’$$

$$\left(\frac{3}{x}+x^2\right)’=-\frac{3}{x^2}+2x,\qquad (2-\sqrt{x})’=-\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Тогда

$$f'(x)=\left(-\frac{3}{x^2}+2x\right)(2-\sqrt{x})-\frac{1}{2\sqrt{x}}\left(\frac{3}{x}+x^2\right)$$

$$f'(x)=-\frac{6}{x^2}+\frac{3}{x^{3/2}}+4x-\frac{5}{2}x^{3/2}$$

в) $$f(x)=\frac{5-2x^6}{1-x^3}$$

По правилу производной частного:

$$f'(x)=\frac{(5-2x^6)'(1-x^3)-(5-2x^6)(1-x^3)’}{(1-x^3)^2}$$

$$f'(x)=\frac{(-12x^5)(1-x^3)-(5-2x^6)(-3x^2)}{(1-x^3)^2}$$

$$f'(x)=\frac{-12x^5+12x^8+15x^2-6x^8}{(1-x^3)^2} =\frac{6x^8-12x^5+15x^2}{(1-x^3)^2}$$

г) $$f(x)=\sqrt{x}(3x^5-x)$$

По правилу произведения:

$$f'(x)=(\sqrt{x})'(3x^5-x)+\sqrt{x}(3x^5-x)’$$

$$(\sqrt{x})’=\frac{1}{2\sqrt{x}},\qquad (3x^5-x)’=15x^4-1$$

Тогда

$$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}(3x^5-x)+\sqrt{x}(15x^4-1)$$

$$f'(x)=\frac{3}{2}x^{9/2}-\frac{1}{2}x^{1/2}+15x^{9/2}-x^{1/2} =\frac{3}{2}\sqrt{x}\,(11x^4-1)$$

Ответ

$$\begin{aligned} &\text{а) } f'(x)=\frac{-8x^7+48x^5+3x^2-3}{(1+4x^5)^2},\\ &\text{б) } f'(x)=-\frac{6}{x^2}+\frac{3}{x^{3/2}}+4x-\frac{5}{2}x^{3/2},\\ &\text{в) } f'(x)=\frac{6x^8-12x^5+15x^2}{(1-x^3)^2},\\ &\text{г) } f'(x)=\frac{3}{2}\sqrt{x}\,(11x^4-1). \end{aligned}$$