Упр.214 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) arcsin'(x)=1/v(1-x^2); б) arccos'(x)=-1/v(1-x^2);
в) arctg'(x)=1/(1+x^2); г) arcctg'(x)=-1/(1+x^2).

Найдём производные обратных тригонометрических функций, используя производные сложных функций.

а) Пусть $$f(x)=\arcsin x.$$ Тогда

$$\sin(\arcsin x)=x.$$

Дифференцируем обе части:

$$f'(x)\cdot \cos(\arcsin x)=1.$$

Так как

$$\cos(\arcsin x)=\sqrt{1-\sin^2(\arcsin x)}=\sqrt{1-x^2},$$

то

$$f'(x)\sqrt{1-x^2}=1,$$

откуда

$$\arcsin’ x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.$$

б) Пусть $$f(x)=\arccos x.$$ Тогда

$$\cos(\arccos x)=x.$$

Дифференцируем:

$$-f'(x)\sin(\arccos x)=1.$$

Поскольку

$$\sin(\arccos x)=\sqrt{1-\cos^2(\arccos x)}=\sqrt{1-x^2},$$

получаем

$$-f'(x)\sqrt{1-x^2}=1,$$

значит,

$$\arccos’ x=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.$$

в) Пусть $$f(x)=\arctg x.$$ Тогда

$$\tg(\arctg x)=x.$$

Дифференцируем:

$$f'(x)\cdot \frac{1}{\cos^2(\arctg x)}=1.$$

Так как

$$\cos(\arctg x)=\sqrt{\frac{1}{1+\tg^2(\arctg x)}}=\sqrt{\frac{1}{1+x^2}},$$

то

$$\frac{1}{\cos^2(\arctg x)}=1+x^2.$$

Следовательно,

$$f'(x)(1+x^2)=1,$$

откуда

$$\arctg’ x=\frac{1}{1+x^2}.$$

г) Пусть $$f(x)=\arcctg x.$$ Тогда

$$\ctg(\arcctg x)=x.$$

Дифференцируем:

$$-f'(x)\cdot \frac{1}{\sin^2(\arcctg x)}=1.$$

Поскольку

$$\sin(\arcctg x)=\sqrt{\frac{1}{1+\ctg^2(\arcctg x)}}=\sqrt{\frac{1}{1+x^2}},$$

то

$$\frac{1}{\sin^2(\arcctg x)}=1+x^2.$$

Тогда

$$-f'(x)(1+x^2)=1,$$

значит,

$$\arcctg’ x=-\frac{1}{1+x^2}.$$

Ответ

$$\arcsin’ x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\qquad \arccos’ x=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\qquad \arctg’ x=\frac{1}{1+x^2},\qquad \arcctg’ x=-\frac{1}{1+x^2}.$$