Упр.214 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Выведите формулы производных обратных тригонометрических функций:

Пусть $$y=\arcsin x.$$ Тогда $$\sin y=x.$$ Дифференцируем по $$x$$:

$$\cos y\cdot y’=1.$$

Так как $$\cos y=\cos(\arcsin x)=\sqrt{1-\sin^2(\arcsin x)}=\sqrt{1-x^2},$$ то

$$y’=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.$$

Пусть $$y=\arccos x.$$ Тогда $$\cos y=x.$$ Дифференцируем:

$$-\sin y\cdot y’=1.$$

При этом

$$\sin y=\sin(\arccos x)=\sqrt{1-\cos^2(\arccos x)}=\sqrt{1-x^2},$$

значит,

$$y’=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.$$

Пусть $$y=\arctg x.$$ Тогда $$\tg y=x.$$ Дифференцируем:

$$\frac{y’}{\cos^2 y}=1.$$

Поскольку

$$\cos^2 y=\frac{1}{1+\tg^2 y}=\frac{1}{1+x^2},$$

получаем

$$y’=\frac{1}{1+x^2}.$$

Пусть $$y=\arcctg x.$$ Тогда $$\ctg y=x.$$ Дифференцируем:

$$-\frac{y’}{\sin^2 y}=1.$$

Так как

$$\sin^2 y=\frac{1}{1+\ctg^2 y}=\frac{1}{1+x^2},$$

то

$$y’=-\frac{1}{1+x^2}.$$

Ответ: $$\left(\arcsin x\right)’=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\quad \left(\arccos x\right)’=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\quad \left(\arctg x\right)’=\frac{1}{1+x^2},\quad \left(\arcctg x\right)’=-\frac{1}{1+x^2}.$$