Упр.212 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

a) f_1(x) дифференцируема в точке x_0, а f_2(x) нет;
б) обе функции не имеют производной в точке x_0?

Нужно проверить, верно ли утверждение, что произведение двух функций не имеет производной в точке $$x_0$$, если одна из них или обе не дифференцируемы в этой точке.

а) Это утверждение неверно. Возьмём, например,

$$f_1(x)=x,\qquad f_2(x)=|x|,\qquad x_0=0.$$

Тогда

$$\varphi(x)=f_1(x)\cdot f_2(x)=x|x|.$$

Проверим производную в точке $$0$$:

$$ \varphi'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{\varphi(x)-\varphi(0)}{x-0} =\lim_{x\to 0}\frac{x|x|}{x} =\lim_{x\to 0}|x|=0. $$

Значит, произведение имеет производную в точке $$x_0=0$$, хотя функция $$f_2(x)=|x|$$ в этой точке не дифференцируема.

б) И здесь утверждение неверно. Например,

$$f_1(x)=\sqrt[3]{x^2},\qquad f_2(x)=\sqrt[3]{x^2},\qquad x_0=0.$$

Обе функции не имеют производной в точке $$0$$, но их произведение равно

$$\varphi(x)=f_1(x)\cdot f_2(x)=\sqrt[3]{x^4}.$$

Найдём производную в точке $$0$$:

$$ \varphi'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{\varphi(x)-\varphi(0)}{x} =\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt[3]{x^4}}{x} =\lim_{x\to 0}\sqrt[3]{x}=0. $$

Следовательно, и в этом случае произведение имеет производную в точке $$x_0=0$$.

Ответ

Нет, не верно ни в пункте а), ни в пункте б).