Упр.211 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 211. Докажите, что функция f(x)=(x^2)^(1/3) не имеет производной в точке 0.

Рассмотрим производную функции в точке $$x_0=0$$ по определению:

$$ f(x)=\sqrt[3]{x^2}, \qquad f(0)=0 $$

$$ f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} =\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt[3]{x^2}}{x} $$

Преобразуем дробь:

$$ \frac{\sqrt[3]{x^2}}{x}=\frac{1}{\sqrt[3]{x}} $$

Тогда

$$ f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{1}{\sqrt[3]{x}} $$

Этот предел не существует: при $$x\to 0+$$ выражение стремится к $$+\infty$$, а при $$x\to 0-$$ — к $$-\infty$$. Следовательно, производная в точке $$0$$ не существует.

Ответ

Функция $$f(x)=\sqrt[3]{x^2}$$ не имеет производной в точке $$0$$.