Упр.21 Глава 1 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Сформулируйте теорему о корне.
2. Сформулируйте определение арксинуса числа. Для каких чисел определён арксинус?
3. Найдите значение выражения:
   а) $$\arcsin(-1)+\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$;
   б) $$\arcsin\left(\frac{1}{2}\right)+\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$;
   в) $$\arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)-\arcsin(1)$$;
   г) $$\arcsin(0)-\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right)$$.

1) Пусть функция $$f$$ возрастает или убывает на промежутке $$I$$. Тогда для любого значения $$a$$, принимаемого функцией $$f$$ на этом промежутке, уравнение $$f(x)=a$$ имеет единственный корень на промежутке $$I$$.

2) Арксинусом числа $$a$$ называется такое число из отрезка $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$, синус которого равен $$a$$. Арксинус определён для всех $$a \in [-1;1]$$.

3) Найдём значения выражений:

1. $$\arcsin(-1)+\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{6}$$;
2. $$\arcsin\frac{1}{2}+\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{6}$$;
3. $$\arcsin\frac{\sqrt{2}}{2}-\arcsin 1=\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{2}=-\frac{\pi}{4}$$;
4. $$\arcsin 0-\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right)=0- \left(-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\pi}{6}$$.

Ответ: 1) уравнение $$f(x)=a$$ имеет единственный корень на $$I$$; 2) $$\arcsin a$$ — число из $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$, синус которого равен $$a$$, $$a \in [-1;1]$$; 3) а) $$-\frac{\pi}{6}$$, б) $$-\frac{\pi}{6}$$, в) $$-\frac{\pi}{4}$$, г) $$\frac{\pi}{6}$$.