Упр.21 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Докажите иррациональность чисел: а) $$\sqrt{3}+\sqrt{5}$$; б) $$\sqrt{2}+\sqrt{3}$$; в) $$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$$; г) $$\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}$$.

а) Пусть $$\sqrt{3}+\sqrt{5}=r.$$ Тогда

$$r^2=(\sqrt{3}+\sqrt{5})^2=3+2\sqrt{15}+5=8+2\sqrt{15}.$$

Отсюда

$$2\sqrt{15}=r^2-8,\qquad \sqrt{15}=\frac{r^2-8}{2}.$$

Значит, $$\sqrt{3}+\sqrt{5}$$ — иррациональное число.

б) Пусть $$\sqrt{2}+\sqrt{3}=r.$$ Тогда

$$r^2=(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2=2+2\sqrt{6}+3=5+2\sqrt{6}.$$

Отсюда

$$2\sqrt{6}=r^2-5,\qquad \sqrt{6}=\frac{r^2-5}{2}.$$

Следовательно, $$\sqrt{2}+\sqrt{3}$$ — иррациональное число.

в) Используем формулу

$$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}=\sqrt{3}-\sqrt{2}.$$

Пусть $$\sqrt{3}-\sqrt{2}=r.$$ Тогда

$$r^2=(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2=3-2\sqrt{6}+2=5-2\sqrt{6}.$$

Отсюда

$$2\sqrt{6}=5-r^2,\qquad \sqrt{6}=\frac{5-r^2}{2}.$$

Значит, $$\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$$ — иррациональное число.

г) Пусть $$\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}=r.$$ Тогда

$$\sqrt[3]{3}=r-\sqrt{2}.$$

Возведём в куб:

$$3=(r-\sqrt{2})^3=r^3-3\sqrt{2}\,r^2+6r-2\sqrt{2}.$$

Перенесём слагаемые с $$\sqrt{2}$$ в одну сторону:

$$(3r^2+2)\sqrt{2}=r^3+6r-3.$$

Тогда

$$\sqrt{2}=\frac{r^3+6r-3}{3r^2+2}.$$

Следовательно, $$\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}$$ не может быть рациональным числом, то есть оно иррационально.

Ответ

а) иррационально; б) иррационально; в) иррационально; г) иррационально.