Упр.209 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) f(x)=x|x|, x_0=0; б) f(x)=|x^2-1|(x+1), x_0=-1;
в) f(x)={x^2-1 при x?1, x^3-x при x > 1, x_0=1};
г) f(x)={x^2 при x?0, x^3 при x < 0, x_0=0}.

а) $$f(x)=x|x|,\quad x_0=0.$$

По определению производной:

$$ f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} =\lim_{x\to 0}\frac{x|x|}{x} =\lim_{x\to 0}|x|=0. $$

Следовательно, функция дифференцируема в точке $$x_0=0$$.

б) $$f(x)=|x^2-1|(x+1),\quad x_0=-1.$$

Имеем $$f(-1)=|(-1)^2-1|\cdot 0=0.$$ Тогда

$$ f'(-1)=\lim_{x\to -1}\frac{f(x)-f(-1)}{x-(-1)} =\lim_{x\to -1}\frac{|x^2-1|(x+1)}{x+1} =\lim_{x\to -1}|x^2-1|=0. $$

Значит, функция дифференцируема в точке $$x_0=-1$$.

в)
$$ f(x)= \begin{cases} x^2-1, & x\le 1,\\ x^3-x, & x>1, \end{cases} \quad x_0=1. $$

Сначала найдём значение функции в точке:

$$f(1)=1^2-1=0.$$

Левый предел производной:

$$ \lim_{x\to 1-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1} =\lim_{x\to 1-}\frac{x^2-1}{x-1} =\lim_{x\to 1-}(x+1)=2. $$

Правый предел производной:

$$ \lim_{x\to 1+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1} =\lim_{x\to 1+}\frac{x^3-x}{x-1} =\lim_{x\to 1+}x(x+1)=2. $$

Левые и правые производные равны, значит, функция дифференцируема в точке $$x_0=1$$.

г)
$$ f(x)= \begin{cases} x^2, & x\ge 0,\\ x^3, & x<0, \end{cases} \quad x_0=0. $$

Имеем $$f(0)=0.$$ Тогда

$$ \lim_{x\to 0+}\frac{f(x)-f(0)}{x} =\lim_{x\to 0+}\frac{x^2}{x} =\lim_{x\to 0+}x=0, $$

$$ \lim_{x\to 0-}\frac{f(x)-f(0)}{x} =\lim_{x\to 0-}\frac{x^3}{x} =\lim_{x\to 0-}x^2=0. $$

Следовательно, функция дифференцируема в точке $$x_0=0$$.

Ответ

Во всех пунктах функция дифференцируема в указанной точке; при этом $$f'(0)=0$$ в пунктах а и г, $$f'(-1)=0$$ в пункте б, $$f'(1)=2$$ в пункте в.