Упр.207 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- а) Докажите признак возрастания функции: функция $$f$$ возрастает на промежутке $$I$$ тогда и только тогда, когда для любых двух значений аргумента $$x$$ и $$x+\Delta x$$ (где $$\Delta x>0$$) из промежутка $$I$$ выполняется условие $$\frac{\Delta f}{\Delta x}>0$$.
б) Сформулируйте и докажите аналогичный признак убывания функции на промежутке $$I$$.
Пусть $$\Delta x \ne 0$$ и точки $$x$$ и $$x+\Delta x$$ принадлежат промежутку $$I$$.
а) Признак возрастания функции
Функция $$f$$ возрастает на промежутке $$I$$ тогда и только тогда, когда для любых таких $$x$$ и $$x+\Delta x$$ выполняется
$$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}>0.$$
Докажем это.
Если $$\Delta x>0$$, то из возрастания функции следует, что $$x+\Delta x>x$$, значит
$$f(x+\Delta x)>f(x),$$
откуда
$$f(x+\Delta x)-f(x)>0.$$
Так как $$\Delta x>0$$, то
$$\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}>0.$$
Если же $$\Delta x<0$$, то $$x+\Delta x<x$$, а для возрастающей функции
$$f(x+\Delta x)<f(x),$$
следовательно,
$$f(x+\Delta x)-f(x)<0.$$
При $$\Delta x<0$$ дробь
$$\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$
также положительна.
Обратно, если для любых $$x$$ и $$x+\Delta x$$ из $$I$$ выполнено
$$\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}>0,$$
то при $$\Delta x>0$$ имеем $$f(x+\Delta x)-f(x)>0$$, то есть $$f(x+\Delta x)>f(x)$$. Значит, функция возрастает на $$I$$.
б) Признак убывания функции
Функция $$f$$ убывает на промежутке $$I$$ тогда и только тогда, когда для любых двух значений аргумента $$x$$ и $$x+\Delta x$$ из $$I$$ выполняется условие
$$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}<0.$$
Доказательство проводится аналогично.
Если $$\Delta x>0$$, то из убывания функции следует
$$f(x+\Delta x)<f(x),$$
значит,
$$f(x+\Delta x)-f(x)<0,$$
и потому
$$\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}<0.$$
Если $$\Delta x<0$$, то $$x+\Delta x<x$$, а для убывающей функции
$$f(x+\Delta x)>f(x),$$
следовательно,
$$f(x+\Delta x)-f(x)>0,$$
и при $$\Delta x<0$$ получаем
$$\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}<0.$$
Обратно, если для любых $$x$$ и $$x+\Delta x$$ из $$I$$
$$\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}<0,$$
то при $$\Delta x>0$$ имеем $$f(x+\Delta x)-f(x)<0$$, то есть $$f(x+\Delta x)<f(x)$$. Следовательно, функция убывает на $$I$$.
Ответ
Функция $$f$$ возрастает на промежутке $$I$$ тогда и только тогда, когда для любых $$x$$ и $$x+\Delta x$$ из $$I$$, где $$\Delta x\ne 0$$, выполняется $$\dfrac{\Delta f}{\Delta x}>0$$. Аналогично, функция $$f$$ убывает на промежутке $$I$$ тогда и только тогда, когда $$\dfrac{\Delta f}{\Delta x}<0$$.
