Упр.206 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) {3^cos(x)=(1/3)^cos(y), log(2; sin(x)-cos(y))+log(2; sin(x)+cos(y))=-1};
б) {log(2; sin(x))+log(2; sin(y))=-2, log(3; cos(x))+log(3; cos(y))=1-log(3; 4)}.

Подробный ответ

а)
Из первого уравнения:
$$3^{\cos x}=\left(\frac13\right)^{\cos y}=3^{-\cos y}$$
Следовательно,
$$\cos x=-\cos y.$$
Из второго уравнения:
$$\log_2(\sin x-\cos y)+\log_2(\sin x+\cos y)=-1,$$
поэтому
$$\log_2\bigl((\sin x-\cos y)(\sin x+\cos y)\bigr)=-1,$$
$$\sin^2 x-\cos^2 y=\frac12.$$
С учётом $$\cos y=-\cos x$$ получаем:
$$\sin^2 x-\cos^2 x=\frac12,$$
$$-\cos 2x=\frac12,\qquad \cos 2x=-\frac12.$$
Отсюда
$$2x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,$$
$$x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n.$$
Проверим значения.
1) Если $$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n,$$ то $$\cos x=\frac12,$$ значит $$\cos y=-\frac12,$$ и
$$y=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi k.$$
2) Если $$x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,$$ то $$\cos x=-\frac12,$$ значит $$\cos y=\frac12,$$ и
$$y=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi k.$$
б)
Из первого уравнения:
$$\log_2(\sin x)+\log_2(\sin y)=-2,$$
$$\log_2(\sin x\sin y)=-2,$$
$$\sin x\sin y=2^{-2}=\frac14.$$
Из второго уравнения:
$$\log_3(\cos x)+\log_3(\cos y)=1-\log_3 4,$$
$$\log_3(\cos x\cos y)=\log_3\frac34,$$
$$\cos x\cos y=\frac34.$$
Сложим полученные равенства:
$$\sin x\sin y+\cos x\cos y=1,$$
$$\cos(x-y)=1,$$
$$x-y=2\pi n,$$
то есть $$y=x-2\pi n.$$
Тогда
$$\sin x\sin(x-2\pi n)=\frac14,$$
$$\cos x\cos(x-2\pi n)=\frac34.$$
Так как $$\sin(x-2\pi n)=\sin x$$ и $$\cos(x-2\pi n)=\cos x,$$ получаем:
$$\sin^2 x=\frac14,\qquad \cos^2 x=\frac34.$$
С учётом области определения $$\sin x>0,\ \sin y>0,\ \cos x>0,\ \cos y>0$$ имеем:
$$\sin x=\frac12,\qquad \cos x=\frac{\sqrt3}{2}.$$
Значит,
$$x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\qquad y=\frac{\pi}{6}+2\pi k.$$