Упр.206 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Решите системы уравнений:

1. $$\begin{cases} 3^{\cos x}=\left(\frac{1}{3}\right)^{\cos y},\\ \log_{2}(\sin x-\cos y)+\log_{2}(\sin x+\cos y)=-1; \end{cases}$$
2. $$\begin{cases} \log_{2}(\sin x)+\log_{2}(\sin y)=-2,\\ \log_{3}(\cos x)+\log_{3}(\cos y)=1-\log_{3}4. \end{cases}$$

а)

Из первого уравнения:

$$3^{\cos x}=\left(\frac13\right)^{\cos y}=3^{-\cos y},$$

значит,

$$\cos x=-\cos y.$$

Тогда область определения второго уравнения задаётся условиями

$$\sin x-\cos y>0,\qquad \sin x+\cos y>0.$$

С учётом $$\cos y=-\cos x$$ получаем

$$\sin x+\cos x>0,\qquad \sin x-\cos x>0.$$

Перемножим логарифмы:

$$\log_2(\sin x-\cos y)+\log_2(\sin x+\cos y)=-1,$$

$$\log_2\bigl((\sin x-\cos y)(\sin x+\cos y)\bigr)=-1,$$

$$\sin^2 x-\cos^2 y=\frac12.$$

Подставим $$\cos y=-\cos x$$:

$$\sin^2 x-\cos^2 x=\frac12,$$

$$-\cos 2x=\frac12,\qquad \cos 2x=-\frac12.$$

Отсюда

$$2x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,$$

$$x=\frac{\pi}{3}+\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{2\pi}{3}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

1) Если $$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n,$$ то

$$\cos x=\frac12,\qquad \cos y=-\frac12,$$

следовательно,

$$y=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.$$

2) Если $$x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,$$ то

$$\cos x=-\frac12,\qquad \cos y=\frac12,$$

следовательно,

$$y=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.$$

б)

Из первого уравнения:

$$\log_2(\sin x)+\log_2(\sin y)=-2,$$

$$\log_2(\sin x\sin y)=-2,$$

$$\sin x\sin y=\frac14.$$

Из второго уравнения:

$$\log_3(\cos x)+\log_3(\cos y)=1-\log_3 4,$$

$$\log_3(\cos x\cos y)=\log_3\frac34,$$

$$\cos x\cos y=\frac34.$$

Сложим полученные равенства:

$$\sin x\sin y+\cos x\cos y=1,$$

$$\cos(x-y)=1.$$

Значит,

$$x-y=2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z,$$

то есть

$$y=x-2\pi n.$$

Тогда

$$\sin x\sin(x-2\pi n)=\frac14,\qquad \cos x\cos(x-2\pi n)=\frac34.$$

Так как $$\sin(x-2\pi n)=\sin x$$ и $$\cos(x-2\pi n)=\cos x,$$ получаем

$$\sin^2 x=\frac14,\qquad \cos^2 x=\frac34.$$

С учётом условий положительности логарифмов:

$$\sin x>0,\qquad \cos x>0,$$

имеем

$$\sin x=\frac12,\qquad \cos x=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Следовательно,

$$x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\qquad y=\frac{\pi}{6}+2\pi k,\qquad n,k\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$\left(\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k\right),\ \left(\frac{2\pi}{3}+2\pi n;\,\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k\right),\quad n,k\in\mathbb Z.$$

б) $$\left(\frac{\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{\pi}{6}+2\pi k\right),\quad n,k\in\mathbb Z.$$