Упр.205 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите системы уравнений:
   
   а) $$\begin{cases}\log(x;y)=2,\\ \log(x+1;y+23)=3;\end{cases}$$
   
   б) $$\begin{cases}(x+y)^x=(x-y)^y,\\ \log(2;x)=1+\log(2;y);\end{cases}$$
   
   в) $$\begin{cases}(x-y)^{2y-x}=125,\\ \lg(2(x-y))=1;\end{cases}$$
   
   г) $$\begin{cases}2\log(2;x)-3^y=15,\\ 3^y\cdot\log(2;x)=2^{\log(2;x)}+3^{y+1}.\end{cases}$$

а) Из первого уравнения получаем $$\log_x y=2 \;\Rightarrow\; y=x^2.$$

Из второго уравнения:

$$\log_{x+1}(y+23)=3 \;\Rightarrow\; y+23=(x+1)^3.$$

Подставим $$y=x^2$$:

$$x^2+23=(x+1)^3,$$

$$x^3+3x^2+3x+1-x^2-23=0,$$

$$x^3+2x^2+3x-22=0.$$

Проверяем корень $$x=2$$:

$$8+8+6-22=0.$$

Тогда

$$x^3+2x^2+3x-22=(x-2)(x^2+4x+11).$$

У квадратного трёхчлена дискриминант отрицателен:

$$D=4^2-4\cdot 11=16-44<0.$$

Значит, $$x=2,$$ тогда $$y=x^2=4.$$

б) Из второго уравнения:

$$\log_2 x=1+\log_2 y=\log_2 2+\log_2 y=\log_2(2y),$$

следовательно,

$$x=2y.$$

Подставим в первое уравнение:

$$((2y)+y)^{2y}=(2y-y)^y,$$

$$(3y)^{2y}=y^y.$$

Так как $$y>0,$$ разделим на $$y^y$$:

$$3^{2y}\cdot y^y=1,$$

$$(9y)^y=1.$$

Отсюда возможны случаи:

$$y=0 \quad \text{или} \quad 9y=1.$$

С учётом области определения $$y>0,$$ получаем

$$y=\frac19,\qquad x=2y=\frac29.$$

в) Из второго уравнения:

$$\lg\bigl(2(x-y)\bigr)=1 \;\Rightarrow\; 2(x-y)=10,$$

$$x-y=5,\qquad y=x-5.$$

Подставим в первое уравнение:

$$(x-(x-5))^{2(x-5)-x}=125,$$

$$5^{x-10}=125=5^3.$$

Следовательно,

$$x-10=3,\qquad x=13,$$

$$y=13-5=8.$$

г) Обозначим $$t=\log_2 x.$$ Тогда из первого уравнения:

$$2t-3^y=15,\qquad 3^y=2t-15.$$

Подставим во второе уравнение:

$$3^y\log_2 x=2\log_2 x+3^{y+1},$$

$$t(2t-15)=2t+3(2t-15).$$

Получаем:

$$2t^2-15t=8t-45,$$

$$2t^2-23t+45=0.$$

Найдём корни:

$$D=23^2-4\cdot 2\cdot 45=529-360=169,$$

$$t_1=\frac{23-13}{4}=\frac52,\qquad t_2=\frac{23+13}{4}=9.$$

Проверим:

при $$t=\frac52$$ имеем $$3^y=2\cdot \frac52-15=-10,$$ что невозможно;

при $$t=9$$ имеем $$3^y=2\cdot 9-15=3,$$ значит $$y=1.$$

Тогда

$$\log_2 x=9 \;\Rightarrow\; x=2^9=512.$$

Ответ

а) $$\left(2;4\right)$$; б) $$\left(\frac29;\frac19\right)$$; в) $$\left(13;8\right)$$; г) $$\left(512;1\right)$$.