Упр.204 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 204. Известно, что неравенство log(a; x^2-x-2) > log(a; 3+2x-x^2) выполняется при x=a/4. Найдите все решения этого неравенства.

Преобразуем неравенство:

$$\log_a(x^2-x-2) > \log_a(3+2x-x^2).$$

Разложим выражения под логарифмами на множители:

$$x^2-x-2=(x+1)(x-2), \qquad 3+2x-x^2=(x+1)(3-x).$$

Тогда

$$\log_a\bigl((x+1)(x-2)\bigr) > \log_a\bigl((x+1)(3-x)\bigr).$$

По условию неравенство выполняется при $$x=\frac a4.$$ Подставим это значение в исходное неравенство. Чтобы логарифмы были определены, нужно:

$$ (x+1)(x-2)>0, \qquad (x+1)(3-x)>0, \qquad a>0,\ a\ne 1.$$

Из условий на аргументы логарифмов получаем общую область:

$$-1<x<2 \quad \text{или} \quad 2<x<3.$$

Так как при $$x=\frac a4$$ должно выполняться $$2<x<3,$$ то

$$2<\frac a4<3,$$

откуда

$$8<a<12.$$

Теперь рассмотрим знак основания логарифма.

1) Если $$a>1,$$ то логарифмическая функция возрастает, и неравенство равносильно:

$$ (x+1)(x-2) > (x+1)(3-x).$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$ (x+1)(x-2)-(x+1)(3-x)>0,$$

$$ (x+1)\bigl((x-2)-(3-x)\bigr)>0,$$

$$ (x+1)(2x-5)>0.$$

С учётом области $$2<x<3$$ получаем:

$$2x-5>0,$$

то есть

$$x>\frac52.$$

Так как $$x=\frac a4,$$ то

$$\frac a4>\frac52 \quad \Rightarrow \quad a>10.$$

Совмещая с $$8<a<12,$$ получаем:

$$10<a<12.$$

Тогда

$$x=\frac a4 \in \left(\frac52,3\right).$$

При этом все такие значения действительно удовлетворяют неравенству.

Ответ

$$x\in\left(\frac52,3\right), \qquad a\in(10,12).$$