Упр.203 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
а) log(x-3; x-4) < 2; б) 2^log(2-x; x^2+8x+15) < 1; в) log(x^2; (4x-5)/|x-2|)?1/2; г) log(x; log(9; 3^x-9)) < 1.
а) $$\log_{x-3}(x-4)<2.$$
Область определения:
$$x-3>0,\quad x-3\ne 1,\quad x-4>0.$$
Отсюда $$x>4.$$
При $$x>4$$ основание логарифма больше 1, значит
$$x-4<(x-3)^2.$$
Тогда
$$x-4<x^2-6x+9,$$
$$x^2-7x+13>0.$$
Дискриминант:
$$D=49-52=-3<0.$$
Следовательно, неравенство выполняется при всех $$x>4.$$
б) $$2^{\log_{2-x}(x^2+8x+15)}<1.$$
Так как $$2^t<1 \iff t<0,$$ получаем
$$\log_{2-x}(x^2+8x+15)<0.$$
Область определения:
$$2-x>0,\quad 2-x\ne 1,\quad x^2+8x+15>0.$$
То есть
$$x<2,\quad x\ne 1,\quad (x+5)(x+3)>0.$$
Из $$\log_a b<0$$ при $$a>1$$ и $$0<a<1$$ получаем два случая.
1) Если $$2-x>1,$$ то $$x<1,$$ и тогда нужно
$$x^2+8x+15<1,$$
$$x^2+8x+14<0.$$
Корни:
$$x=-4\pm \sqrt2.$$
Значит, $$-4-\sqrt2<x<-4+\sqrt2.$$
С учётом $$x<1$$ и ОДЗ получаем $$(-4-\sqrt2;\,-4+\sqrt2).$$
2) Если $$0<2-x<1,$$ то $$1<x<2,$$ и нужно
$$x^2+8x+15>1,$$
$$x^2+8x+14>0.$$
Это выполняется при $$x>-4+\sqrt2,$$ поэтому с учётом $$1<x<2$$ получаем $$ (1;2).$$
Кроме того, из $$x^2+8x+15>0$$ и $$x<2$$ имеем также $$x<-5$$ или $$x>-3,$$ но с учётом предыдущих условий остаются найденные промежутки.
в) $$\log_{x^2}\frac{4x-5}{|x-2|}\ge \frac12.$$
Область определения:
$$x^2>0,\quad x^2\ne 1,\quad \frac{4x-5}{|x-2|}>0.$$
Так как основание $$x^2>1$$ при $$|x|>1,$$ рассмотрим этот случай.
Тогда
$$\frac{4x-5}{|x-2|}\ge x.$$
1) Если $$x\le 0$$ или $$x\ge 2,$$ то $$|x-2|=2-x$$ при $$x\le 0$$ и $$|x-2|=x-2$$ при $$x\ge 2.$$
После преобразований получаем
$$x^2-6x+5\le 0,$$
$$ (x-1)(x-5)\le 0,$$
откуда $$1\le x\le 5.$$
С учётом условия $$x\ge 2$$ получаем $$[2;5].$$
2) Если $$0\le x\le 5,$$ то
$$4x-5\ge 2x-x^2,$$
$$x^2+2x-5\ge 0.$$
Корни:
$$x=-1\pm \sqrt6.$$
С учётом $$|x|>1$$ и ОДЗ получаем $$[\sqrt6-1;2).$$
г) $$\log_x\bigl(\log_9(3^x-9)\bigr)<1.$$
Область определения:
$$x>0,\quad x\ne 1,\quad \log_9(3^x-9)>0.$$
Из $$\log_9(3^x-9)>0$$ следует
$$3^x-9>1,$$
$$3^x>10,$$
$$x>\log_3 10.$$
Так как при $$x>1$$ основание логарифма больше 1, то
$$\log_9(3^x-9)<x.$$
Это условие выполняется при всех $$x>\log_3 10,$$ поэтому решение:
$$x\in(\log_3 10;\,+\infty).$$
Ответ
а) $$\left(4;\,+\infty\right);$$ б) $$(-4-\sqrt2;\,-4+\sqrt2)\cup(1;\,2);$$ в) $$[\sqrt6-1;\,2)\cup(2;\,5];$$ г) $$\left(\log_3 10;\,+\infty\right).$$
