Упр.203 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите неравенства:
   а) $$\log(x-3; x-4)<2$$;
   б) $$2^{\log(2-x; x^2+8x+15)}<1$$;
   в) $$\log\left(x^2; \frac{4x-5}{|x-2|}\right)?\frac{1}{2}$$;
   г) $$\log\left(x; \log(9; 3^x-9)\right)<1$$.

а) Рассмотрим неравенство $$\log_{x-3}(x-4)<2.$$

Для области определения нужно, чтобы

$$x-3>0,\quad x-3\ne 1,\quad x-4>0,$$

то есть $$x>4.$$

При $$x>4$$ основание логарифма больше $$1$$, значит неравенство равносильно

$$x-4<(x-3)^2.$$

Тогда

$$x-4<x^2-6x+9 \\\\ x^2-7x+13>0.$$

Дискриминант:

$$D=49-52=-3<0.$$

Следовательно, $$x^2-7x+13>0$$ при всех $$x$$, удовлетворяющих ОДЗ. Значит,

$$x\in(4;+\infty).$$

б) Решим неравенство $$2^{\log_{2-x}(x^2+8x+15)}<1.$$

Так как $$2>1,$$ то это равносильно

$$\log_{2-x}(x^2+8x+15)<0.$$

Рассмотрим два случая.

1) Если $$0<2-x<1,$$ то есть $$1<x<2,$$ то при основании от $$0$$ до $$1$$ логарифм меньше нуля тогда и только тогда, когда

$$x^2+8x+15>1,$$

то есть

$$x^2+8x+14>0.$$

На промежутке $$1<x<2$$ это верно, значит получаем $$x\in(1;2).$$

2) Если $$2-x>1,$$ то есть $$x<1,$$ тогда нужно

$$0<x^2+8x+15<1.$$

Из неравенства $$x^2+8x+15<1$$ получаем

$$x^2+8x+14<0.$$

Корни:

$$x=\frac{-8\pm\sqrt{64-56}}{2}=-4\pm\sqrt2.$$

Значит,

$$-4-\sqrt2<x<-4+\sqrt2.$$

С учётом $$x<1$$ и условия $$x^2+8x+15>0$$ имеем также

$$x<-5 \quad \text{или} \quad x>-3.$$

Пересечение даёт

$$(-4-\sqrt2;-5)\cup(-3;-4+\sqrt2).$$

Итак,

$$x\in(-4-\sqrt2;-5)\cup(-3;-4+\sqrt2)\cup(1;2).$$

в) Решим неравенство $$\log_{x^2}\frac{4x-5}{|x-2|}\ge \frac12.$$

Для области определения нужно:

$$x^2>0,\quad x^2\ne 1,\quad \frac{4x-5}{|x-2|}>0,\quad x\ne 2.$$

Так как $$x^2>0$$ при $$x\ne 0,$$ а основание логарифма должно быть положительным и не равным $$1$$, то

$$x\ne 0,\quad x\ne \pm1.$$

Поскольку $$\frac{4x-5}{|x-2|}>0,$$ то при $$x\ne 2$$ имеем $$4x-5>0,$$ то есть $$x>\frac54.$$

Так как при $$x>\frac54$$ основание $$x^2>1,$$ неравенство равносильно

$$\frac{4x-5}{|x-2|}\ge x.$$

Рассмотрим случаи.

1) Если $$x>2,$$ то $$|x-2|=x-2,$$ и

$$4x-5\ge x(x-2) \\\\ x^2-6x+5\le 0 \\\\ (x-1)(x-5)\le 0.$$

С учётом $$x>2$$ получаем $$x\in(2;5].$$

2) Если $$\frac54<x<2,$$ то $$|x-2|=2-x,$$ и

$$4x-5\ge x(2-x) \\\\ x^2+2x-5\ge 0.$$

Корни:

$$x=-1\pm\sqrt6.$$

На промежутке $$\frac54<x<2$$ подходит

$$x\in[\sqrt6-1;2).$$

Объединяя, получаем

$$x\in[\sqrt6-1;2)\cup(2;5].$$

г) Решим неравенство $$\log_x\bigl(\log_9(3^x-9)\bigr)<1.$$

Для области определения нужно:

$$x>0,\quad x\ne 1,\quad \log_9(3^x-9)>0.$$

Из последнего:

$$3^x-9>1 \quad \Longrightarrow \quad 3^x>10 \quad \Longrightarrow \quad x>\log_3 10.$$

При этом $$x>1,$$ значит основание логарифма больше $$1$$, и неравенство равносильно

$$\log_9(3^x-9)<x.$$

Так как $$9^x=3^{2x},$$ получаем

$$3^x-9<9^x \\\\ 3^{2x}-3^x+9>0.$$

Положим $$t=3^x>0.$$ Тогда

$$t^2-t+9>0.$$

Дискриминант:

$$D=1-36=-35<0,$$

значит, неравенство верно при всех $$x$$, удовлетворяющих ОДЗ.

Итак,

$$x\in(\log_3 10;+\infty).$$

Ответ

а) $$\,(4;+\infty)\,;$$ б) $$\,(-4-\sqrt2;-5)\cup(-3;-4+\sqrt2)\cup(1;2)\,;$$ в) $$\,[\sqrt6-1;2)\cup(2;5]\,;$$ г) $$\,(\log_3 10;+\infty).$$