Упр.202 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) log(2; 2^x-1)log(1/2; 2^(x+1)-2) > 2;
б) 3^log^2(3; x)+x^log(3; x) < 6; в) 3^(lg(x)+2) < 3^(lg(2x)+5)-2; г) 5^log^2(5; x)+x^log(5; x) < 10.

1. а) Обозначим $$y=\log_2(2^x-1).$$ Тогда

   $$ \log_2(2^x-1)\cdot \log_{\frac12}(2^{x+1}-2)>2 $$
   $$ \log_2(2^x-1)\cdot \bigl(-\log_2(2^{x+1}-2)\bigr)>2 $$
   $$ -\log_2(2^x-1)\cdot \log_2\bigl(2(2^x-1)\bigr)>2 $$
   $$ \log_2(2^x-1)\cdot \bigl(1+\log_2(2^x-1)\bigr)<-2. $$

   Получаем

   $$ y(1+y)<-2 $$ $$ y^2+y+2<0. $$

   Но

   $$ D=1-8=-7<0, $$

   значит, неравенство решений не имеет.

2. б) Пусть $$t=\log_3 x.$$ Тогда $$x=3^t,$$ и

   $$ 3^{\log_3^2 x}+x^{\log_3 x}<6 $$ $$ 3^{t^2}+(3^t)^t<6 $$ $$ 3^{t^2}+3^{t^2}<6 $$ $$ 2\cdot 3^{t^2}<6 $$ $$ 3^{t^2}<3 $$ $$ t^2<1. $$

   Следовательно,

   $$ -1<t<1 $$
   $$ -1<\log_3 x<1. $$

   Так как основание $$3>1,$$ получаем

   $$ \frac13<x<3. $$

3. в) Используем свойства степеней:

   $$ 3^{\lg^2 x+2}<3^{\lg(2x)+5}-2 $$ $$ 9\cdot 3^{\lg^2 x}<3^{\lg 2+\lg x+5}-2 $$ $$ 9\cdot 3^{\lg x}<3^{\lg 2+5}\cdot 3^{\lg x}-2. $$

   Перенесём слагаемые:

   $$ 3^{\lg x}\bigl(3^{\lg 2+5}-9\bigr)>2. $$

   Так как $$3^{\lg x}=x^{\lg 3},$$ получаем

   $$ \lg x>\log_3\frac{2}{3^{\lg 2+5}-9}, $$

   откуда

   $$ x>10^{\log_3\frac{2}{3^{\lg 2+5}-9}}. $$

4. г) Обозначим $$t=\log_5 x.$$ Тогда $$x=5^t,$$ и

   $$ 5^{\log_5^2 x}+x^{\log_5 x}<10 $$ $$ 5^{t^2}+(5^t)^t<10 $$ $$ 5^{t^2}+5^{t^2}<10 $$ $$ 2\cdot 5^{t^2}<10 $$ $$ 5^{t^2}<5 $$ $$ t^2<1. $$

   Следовательно,

   $$ -1<\log_5 x<1, $$

   откуда

   $$ \frac15<x<5. $$

Ответ

а) решений нет;
б) $$\left(\frac13;3\right);$$
в) $$\left(10^{\log_3\frac{2}{3^{\lg 2+5}-9}};\infty\right);$$
г) $$\left(\frac15;5\right).$$