Упр.201 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
а) log(2; 1+log(1/9; x)-log(9; x)) < 1;
б) log^2(2; (x-1)^2)-log(0,5; (x-1)) > 5;
в) log(1/2; log(2; log(x-1; 9))) > 0;
г) log(2; log(1/2; log(5; x))) > 0.
а) $$\log_2\!\left(1+\log_{\frac19}x-\log_9x\right)<1.$$
Так как $$\log_{\frac19}x=-\log_9x,$$ получаем
$$ \log_2(1-2\log_9x)<1. $$
Поскольку основание $$2>1,$$ то
$$ 1-2\log_9x<2. $$
С учётом области определения:
$$ 1-2\log_9x>0. $$
Решаем систему:
$$ \begin{cases} 1-2\log_9x<2,\\ 1-2\log_9x>0. \end{cases} $$
$$ \begin{cases} \log_9x>-\dfrac12,\\ \log_9x<\dfrac12. \end{cases} $$
$$ 9^{-1/2}<x<9^{1/2}, $$
$$ \frac13<x<3. $$
б) $$\log_2^2(x-1)-\log_{0.5}(x-1)>5.$$
Положим $$y=\log_2(x-1).$$ Тогда
$$ \log_{0.5}(x-1)=\log_{\frac12}(x-1)=-\log_2(x-1)=-y. $$
Получаем уравнение:
$$ y^2+y>5, $$
$$ y^2+y-5>0. $$
Корни квадратного трёхчлена:
$$ y_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{21}}{2}. $$
Тогда
$$ y<\frac{-1-\sqrt{21}}{2}\quad \text{или}\quad y>\frac{-1+\sqrt{21}}{2}. $$
Возвращаясь к $$x$$, получаем:
$$ \log_2(x-1)<\frac{-1-\sqrt{21}}{2} \quad \text{или}\quad \log_2(x-1)>\frac{-1+\sqrt{21}}{2}. $$
$$ 1<x<1+2^{\frac{-1-\sqrt{21}}{2}} \quad \text{или}\quad x>1+2^{\frac{-1+\sqrt{21}}{2}}. $$
в) $$\log_{\frac12}\!\left(\log_2\!\left(\log_{x-1}9\right)\right)>0.$$
Так как основание $$\frac12<1,$$ то
$$ 0<\log_2(\log_{x-1}9)<1. $$
Из неравенства $$0<\log_2(\log_{x-1}9)$$ следует
$$ \log_{x-1}9>1. $$
А из $$\log_2(\log_{x-1}9)<1$$ получаем
$$ \log_{x-1}9<2. $$
Решаем систему:
$$ \begin{cases} \log_{x-1}9>1,\\ \log_{x-1}9<2. \end{cases} $$
При $$x-1>1$$ функция $$\log_{x-1}9$$ убывает, поэтому
$$ x-1<9,\qquad x-1>3. $$
С учётом области определения $$x>2$$ получаем
$$ 4<x<10. $$
г) $$\log_2\!\left(\log_{\frac12}\!\left(\log_5x\right)\right)>0.$$
Так как основание $$2>1,$$ то
$$ \log_{\frac12}(\log_5x)>1. $$
Поскольку $$\log_{\frac12}u=-\log_2u,$$ имеем
$$ -\log_2(\log_5x)>1, $$
$$ \log_2(\log_5x)<-1. $$
Это равносильно
$$ 0<\log_5x<\frac12. $$
Тогда
$$ 1<x<\sqrt5. $$
Ответ
а) $$\left(\frac13;3\right);$$
б) $$\left(1;1+2^{\frac{-1-\sqrt{21}}{2}}\right)\cup\left(1+2^{\frac{-1+\sqrt{21}}{2}};+\infty\right);$$
в) $$\left(4;10\right);$$
г) $$\left(1;\sqrt5\right).$$
