Упр.201 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Решите неравенства:
- $$\log(2; 1+\log(1/9; x)-\log(9; x))<1$$;
- $$\log^2(2; (x-1)^2)-\log(0,5; (x-1))>5$$;
- $$\log(1/2; \log(2; \log(x-1; 9)))>0$$;
- $$\log(2; \log(1/2; \log(5; x)))>0$$.
а) Рассмотрим неравенство
$$\log_2\!\left(1+\log_{\frac19}x-\log_9x\right)<1.$$
Так как $$\log_{\frac19}x=-\log_9x,$$ получаем
$$\log_2\!\left(1-2\log_9x\right)<1.$$
Поскольку основание $$2>1,$$ то
$$1-2\log_9x<2,$$
откуда
$$\log_9x>-\frac12.$$
С учётом области определения:
$$1-2\log_9x>0,$$
то есть
$$\log_9x<\frac12.$$
Итак,
$$-\frac12<\log_9x<\frac12.$$
Переходим к основанию $$9$$:
$$9^{-1/2}<x<9^{1/2},$$
$$\frac13<x<3.$$
Ответ: $$\left(\frac13;3\right).$$
б) Решим неравенство
$$\log_2^2(x-1)-\log_{0,5}(x-1)>5.$$
Так как $$\log_{0,5}(x-1)=-\log_2(x-1),$$ получаем
$$\log_2^2(x-1)+\log_2(x-1)-5>0.$$
Положим $$y=\log_2(x-1).$$ Тогда
$$y^2+y-5>0.$$
Найдём корни уравнения $$y^2+y-5=0$$:
$$D=1+20=21,$$
$$y_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{21}}{2}.$$
Тогда
$$y<\frac{-1-\sqrt{21}}{2}\quad \text{или}\quad y>\frac{-1+\sqrt{21}}{2}.$$
Возвращаясь к $$x$$, получаем
$$\log_2(x-1)<\frac{-1-\sqrt{21}}{2}\quad \text{или}\quad \log_2(x-1)>\frac{-1+\sqrt{21}}{2}.$$
С учётом $$x>1$$:
$$1<x<1+2^{\frac{-1-\sqrt{21}}{2}} \quad \text{или}\quad x>1+2^{\frac{-1+\sqrt{21}}{2}}.$$
Ответ: $$\left(1;\,1+2^{\frac{-1-\sqrt{21}}{2}}\right)\cup\left(1+2^{\frac{-1+\sqrt{21}}{2}};\,+\infty\right).$$
в) Рассмотрим неравенство
$$\log_{\frac12}\!\left(\log_2\!\left(\log_{x-1}9\right)\right)>0.$$
Так как основание $$\frac12<1,$$ то
$$0<\log_2\!\left(\log_{x-1}9\right)<1.$$
Отсюда
$$1<\log_{x-1}9<2.$$
Так как $$9>1,$$ то при $$x-1>1$$ имеем
$$\log_{x-1}9>1 \iff x-1<9,$$
а из $$\log_{x-1}9<2$$ получаем
$$x-1>3.$$
Следовательно,
$$4<x<10.$$
Ответ: $$\left(4;10\right).$$
г) Решим неравенство
$$\log_2\!\left(\log_{\frac12}\!\left(\log_5x\right)\right)>0.$$
Так как основание $$2>1,$$ то
$$\log_{\frac12}\!\left(\log_5x\right)>1.$$
Поскольку основание $$\frac12<1,$$ получаем
$$0<\log_5x<\frac12.$$
Тогда
$$1<x<\sqrt5.$$
Ответ: $$\left(1;\sqrt5\right).$$
