Упр.200 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. При каких значениях $$a$$ уравнение $$x\ln|x|=a$$ имеет один корень?

Рассмотрим функцию $$f(x)=x\ln|x|,\qquad x\ne 0.$$

Она нечётная, так как

$$f(-x)=-x\ln|x|=-f(x).$$

Достаточно исследовать её при $$x>0$$:

$$f(x)=x\ln x.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\ln x+1.$$

Критическая точка определяется из уравнения

$$\ln x+1=0,\qquad x=e^{-1}=\frac1e.$$

При $$0<x<\frac1e$$ имеем $$f'(x)<0,$$ а при $$x>\frac1e$$ имеем $$f'(x)>0.$$ Значит, на положительной полуоси функция имеет минимум в точке $$x=\frac1e$$:

$$f\!\left(\frac1e\right)=\frac1e\ln\frac1e=\frac1e\cdot(-1)=-\frac1e.$$

По нечётности на отрицательной полуоси функция имеет максимум

$$f\!\left(-\frac1e\right)=\frac1e.$$

Следовательно, уравнение $$x\ln|x|=a$$ имеет ровно один корень тогда и только тогда, когда прямая $$y=a$$ касается графика функции в одной из экстремальных точек, то есть при

$$a=\pm \frac1e.$$

Ответ: $$a=\pm \frac1e.$$