Упр.20 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) v3; б) 3^(1/3); в) lg(5); г) log(2; 9).

Подробный ответ

Докажем иррациональность каждого числа от противного. Предположим, что оно рационально, то есть представимо в виде $$\frac{p}{q}$$, где $$p$$ и $$q$$ — целые числа, $$q \ne 0$$, и дробь несократима.

$$\sqrt{3}$$.
Пусть $$\sqrt{3}=\frac{p}{q}$$. Тогда
$$q\sqrt{3}=p,$$
$$3q^2=p^2.$$
Из равенства $$3q^2=p^2$$ следует, что $$p^2$$ делится на $$3$$, значит, $$p$$ делится на $$3$$. Пусть $$p=3k$$. Тогда
$$3q^2=9k^2,$$
$$q^2=3k^2.$$
Следовательно, $$q^2$$ делится на $$3$$, значит, $$q$$ тоже делится на $$3$$. Получаем, что $$p$$ и $$q$$ делятся на $$3$$, что противоречит несократимости дроби $$\frac{p}{q}$$. Значит, $$\sqrt{3}$$ иррационально.
$$\sqrt[3]{3}$$.
Пусть $$\sqrt[3]{3}=\frac{p}{q}$$. Тогда
$$q\sqrt[3]{3}=p,$$
$$3q^3=p^3.$$
Из равенства $$3q^3=p^3$$ следует, что $$p^3$$ делится на $$3$$, значит, $$p$$ делится на $$3$$. Пусть $$p=3k$$. Тогда
$$3q^3=27k^3,$$
$$q^3=9k^3.$$
Следовательно, $$q^3$$ делится на $$3$$, значит, $$q$$ делится на $$3$$. Это противоречит несократимости $$\frac{p}{q}$$. Значит, $$\sqrt[3]{3}$$ иррационально.
$$\lg 5$$.
Пусть $$\lg 5=\frac{p}{q}$$. Тогда
$$10^{\frac{p}{q}}=5,$$
$$10^p=5^q.$$
Левая часть делится на $$2$$, а правая — нет, так как число $$5^q$$ нечётное. Получаем противоречие. Значит, $$\lg 5$$ иррационально.
$$\log_2 9$$.
Пусть $$\log_2 9=\frac{p}{q}$$. Тогда
$$2^{\frac{p}{q}}=9,$$
$$2^p=9^q.$$
Левая часть — степень числа $$2$$, а правая часть нечётна. Но степень числа $$2$$ при $$p>0$$ чётна, а при $$p=0$$ равна $$1$$, что невозможно. Противоречие. Следовательно, $$\log_2 9$$ иррационально.