Упр.20 Глава 1 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

2) Пользуясь свойствами функции тангенс, расположите в порядке возрастания числа:
а) tg(-0,4), tg(1,2), tg(0,8); б) tg(2,8), tg(3,9), tg(1,6);
в) tg(0,6), tg(-1,3), tg(-0,7); г) tg(4,3), tg(1,7), tg(2,5).
3) Исследуйте функцию и постройте ее график:
а) y=-tg(x); б) y=tg(x/2);
в) y=2tg(x); г) y=tg(x-?/4).

1. Основные свойства функции $$y=\tg x$$:

   • область определения: $$D(y)=\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\,\frac{\pi}{2}+\pi n\right),\ n\in\mathbb Z;$$
   • область значений: $$E(y)=\mathbb R;$$
   • функция нечётная: $$\tg(-x)=-\tg x;$$
   • периодичность: $$T=\pi;$$
   • на каждом промежутке определения функция возрастает;
   • нули функции: $$x=\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
   • $$\tg x>0$$ при $$x\in(\pi n;\,\frac{\pi}{2}+\pi n),$$
   • $$\tg x<0$$ при $$x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\,\pi n\right).$$

2. Расположим числа в порядке возрастания, учитывая, что на каждом промежутке определения функция $$\tg x$$ возрастает.

   а) $$-\frac{\pi}{2}<-0{,}4<0{,}8<1{,}2<\frac{\pi}{2}$$, значит

   $$\tg(-0{,}4)<\tg(0{,}8)<\tg(1{,}2).$$

   б) $$\frac{\pi}{2}<1{,}6<2{,}8<3{,}9<\frac{3\pi}{2}$$, значит

   $$\tg(1{,}6)<\tg(2{,}8)<\tg(3{,}9).$$

   в) $$-\frac{\pi}{2}<-1{,}3<-0{,}7<0{,}6<\frac{\pi}{2}$$, значит

   $$\tg(-1{,}3)<\tg(-0{,}7)<\tg(0{,}6).$$

   г) $$\frac{\pi}{2}<1{,}7<2{,}5<4{,}3<\frac{3\pi}{2}$$, значит

   $$\tg(1{,}7)<\tg(2{,}5)<\tg(4{,}3).$$

3. Исследуем функции.

   а) $$y=-\tg x$$

   $$D(y)=\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\,\frac{\pi}{2}+\pi n\right),\quad E(y)=\mathbb R,\quad T=\pi.$$

   Функция нечётная. На каждом промежутке определения убывает.

   $$y=0 \text{ при } x=\pi n.$$

   $$y>0 \text{ при } x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\,\pi n\right),$$

   $$y<0 \text{ при } x\in\left(\pi n;\,\frac{\pi}{2}+\pi n\right).$$

   б) $$y=\tg\frac{x}{2}$$

   $$D(y)=\mathbb R\setminus\{\pi+2\pi n\},\quad E(y)=\mathbb R,\quad T=2\pi.$$

   Функция нечётная. На каждом промежутке определения возрастает.

   $$y=0 \text{ при } x=2\pi n.$$

   $$y>0 \text{ при } x\in(2\pi n;\,\pi+2\pi n),$$

   $$y<0 \text{ при } x\in(-\pi+2\pi n;\,2\pi n).$$

   в) $$y=2\tg x$$

   $$D(y)=\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\,\frac{\pi}{2}+\pi n\right),\quad E(y)=\mathbb R,\quad T=\pi.$$

   Функция нечётная. На каждом промежутке определения возрастает.

   $$y=0 \text{ при } x=\pi n.$$

   $$y>0 \text{ при } x\in\left(\pi n;\,\frac{\pi}{2}+\pi n\right),$$

   $$y<0 \text{ при } x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\,\pi n\right).$$

   г) $$y=\tg\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$$

   $$D(y)=\mathbb R\setminus\left\{-\frac{\pi}{4}+\pi n\right\},\quad E(y)=\mathbb R,\quad T=\pi.$$

   Функция нечётная относительно точки $$\left(\frac{\pi}{4},0\right)$$ и на каждом промежутке определения возрастает.

   $$y=0 \text{ при } x=\frac{\pi}{4}+\pi n.$$

   $$y>0 \text{ при } x\in\left(\frac{\pi}{4}+\pi n;\,\frac{3\pi}{4}+\pi n\right),$$

   $$y<0 \text{ при } x\in\left(-\frac{\pi}{4}+\pi n;\,\frac{\pi}{4}+\pi n\right).$$

Ответ

1) $$D(y)=\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\,\frac{\pi}{2}+\pi n\right),\ E(y)=\mathbb R,\ T=\pi,$$ функция нечётная, на каждом промежутке определения возрастает.
2) а) $$\tg(-0{,}4)<\tg(0{,}8)<\tg(1{,}2);$$ б) $$\tg(1{,}6)<\tg(2{,}8)<\tg(3{,}9);$$ в) $$\tg(-1{,}3)<\tg(-0{,}7)<\tg(0{,}6);$$ г) $$\tg(1{,}7)<\tg(2{,}5)<\tg(4{,}3).$$
3) Для функций $$y=-\tg x,$$ $$y=\tg\frac{x}{2},$$ $$y=2\tg x,$$ $$y=\tg\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$$ указаны области определения, период, чётность, промежутки возрастания и знаки функции.