Упр.2 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 2. При каких целых a оба корня уравнения x^2+ax^2+6=0 являются целыми числами?

Пусть корни уравнения $$x^2+ax+6=0$$ — целые числа. Тогда по теореме Виета

$$x_1+x_2=-a,\qquad x_1x_2=6.$$

Нужно найти все целые пары чисел, произведение которых равно $$6$$:

$$(-6,-1),\;(-3,-2),\;(1,6),\;(2,3).$$

Для каждой пары находим $$a$$ из равенства $$x_1+x_2=-a$$:

$$ \begin{aligned} x_1=-6,\ x_2=-1 &\Rightarrow -7=-a \Rightarrow a=7,\\ x_1=-3,\ x_2=-2 &\Rightarrow -5=-a \Rightarrow a=5,\\ x_1=1,\ x_2=6 &\Rightarrow 7=-a \Rightarrow a=-7,\\ x_1=2,\ x_2=3 &\Rightarrow 5=-a \Rightarrow a=-5. \end{aligned} $$

Ответ

$$-7,\,-5,\,5,\,7.$$