Упр.2 Глава 4 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Перечислите основные свойства арифметических корней.
- Преобразуйте выражение:
а) $$8^{\frac{1}{4}}\cdot 4^{\frac{1}{8}}$$;
б) $$\frac{125^{\frac{1}{6}}}{320^{\frac{1}{3}}}$$;
в) $$\left(\left(\frac{27}{8}\right)^{\frac{1}{6}}\right)^2$$;
г) $$\sqrt{\frac{a^4b^2}{c^8}}$$. - Какое из чисел больше:
а) $$128^{\frac{1}{7}}$$ или $$4^{\frac{1}{5}}$$;
б) $$2^{100}$$ или $$100^{20}$$;
в) $$26^{\frac{1}{8}}$$ или $$5^{\frac{1}{4}}$$;
г) $$5^{\frac{1}{5}}$$ или $$3^{\frac{1}{3}}$$?
Основные свойства арифметических корней:
$$\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}$$
$$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}},\quad b\ne 0$$
$$\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}}=\sqrt[nk]{a},\quad k>0$$
$$\sqrt[n]{a^k}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^k,\quad k>0$$
$$\sqrt[n]{a^k}=a^{k/n}$$Преобразуем выражения:
а) $$8^{1/4}\cdot 4^{1/8}=\sqrt[4]{8}\cdot\sqrt[8]{4}=\sqrt[4]{8}\cdot\sqrt[4]{2}=\sqrt[4]{16}=2;$$
б) $$\frac{125^{1/6}}{320^{1/3}}=\frac{\sqrt[6]{125}}{\sqrt[3]{320}}=\frac{\sqrt[6]{5^3}}{\sqrt[3]{4^3\cdot 5}}=\frac{\sqrt[6]{5^3}}{4\sqrt[3]{5}}=\frac{\sqrt[6]{5^3}}{4\sqrt[6]{5^2}}=\frac{\sqrt[6]{5}}{4};$$
в) $$\left(\left(\frac{27}{8}\right)^{1/6}\right)^2=\left(\sqrt[6]{\frac{27}{8}}\right)^2=\sqrt[3]{\frac{27}{8}}=\sqrt[3]{\frac{3^3}{2^3}}=\frac{3}{2};$$
г) $$\sqrt{\frac{a^4b^2}{c^8}}=\sqrt{\frac{a^{2\cdot 2}\cdot b^2}{c^{2\cdot 4}}}=\frac{a^2|b|}{c^4}.$$
Сравним числа:
а) $$128^{1/7}=\sqrt[7]{128}=\sqrt[7]{2^7}=2,$$
$$4^{1/5}=\sqrt[5]{4}=\sqrt[5]{2^2}<2,$$
значит, больше $$128^{1/7}.$$б) $$2^{100}=(2^{10})^{10}=1024^{10},$$
$$100^{20}=(100^2)^{10}=10000^{10},$$
значит, больше $$100^{20}.$$в) $$26^{1/8}=\sqrt[8]{26},\qquad 5^{1/4}=\sqrt[8]{5^2}=\sqrt[8]{25},$$
значит, больше $$26^{1/8}.$$г) $$5^{1/5}=\sqrt[15]{5^3}=\sqrt[15]{125},$$
$$3^{1/3}=\sqrt[15]{3^5}=\sqrt[15]{243},$$
значит, больше $$3^{1/3}.$$
