Упр.2 Глава 3 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

2) Запишите общий вид первообразных для функции:
a) f(x)=kx+b (k и b — постоянные); б) f(x)=1/cos^2(x);
в) f(x)=x^n (n — целое число, n?-1); г) f(x)=cos(x).
3) Для функции f найдите первообразную F, принимающую заданное значение в данной точке:
а) f(x)=sin(x)-cos(x), F(?)=1;
б) f(x)=x^2/3-3/x^2, F(3)=5;
в) f(x)=2x-5, F(1)=-2;
г) f(x)=1/v(x-2), F(6)=10.

1. Если $$F'(x)=0$$ на некотором промежутке $$I$$, то функция $$F$$ постоянна на этом промежутке.

   Любая первообразная для функции $$f$$ на промежутке $$I$$ имеет вид $$F(x)+C$$, где $$F(x)$$ — одна из первообразных для $$f(x)$$, а $$C$$ — произвольная постоянная.

2. Найдём общий вид первообразных:

   а) для $$f(x)=kx+b$$:
   $$F(x)=\frac{kx^2}{2}+bx+C;$$

   б) для $$f(x)=\frac{1}{\cos^2 x}$$:
   $$F(x)=\tg x+C;$$

   в) для $$f(x)=x^n$$, $$n\in \mathbb{Z}$$, $$n\ne -1$$:
   $$F(x)=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C;$$

   г) для $$f(x)=\cos x$$:
   $$F(x)=\sin x+C.$$

3. Найдём первообразную $$F$$, используя заданное значение в точке.

   а) $$f(x)=\sin x-\cos x$$, $$F(\pi)=1$$.
   Тогда
   $$F(x)=-\cos x-\sin x+C.$$
   Подставим $$x=\pi$$:
   $$-\cos \pi-\sin \pi+C=1,$$
   $$1+0+C=1,$$
   $$C=0.$$
   Значит,
   $$F(x)=-\cos x-\sin x.$$

   б) $$f(x)=\frac{x^2}{3}-\frac{3}{x^2}$$, $$F(3)=5$$.
   Тогда
   $$F(x)=\frac{x^3}{9}+\frac{3}{x}+C.$$
   Подставим $$x=3$$:
   $$\frac{27}{9}+\frac{3}{3}+C=5,$$
   $$3+1+C=5,$$
   $$C=1.$$
   Значит,
   $$F(x)=\frac{x^3}{9}+\frac{3}{x}+1.$$

   в) $$f(x)=2x-5$$, $$F(1)=-2$$.
   Тогда
   $$F(x)=x^2-5x+C.$$
   Подставим $$x=1$$:
   $$1-5+C=-2,$$
   $$C=2.$$
   Значит,
   $$F(x)=x^2-5x+2.$$

   г) $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x-2}}$$, $$F(6)=10$$.
   Тогда
   $$F(x)=2\sqrt{x-2}+C.$$
   Подставим $$x=6$$:
   $$2\sqrt{6-2}+C=10,$$
   $$2\cdot 2+C=10,$$
   $$C=6.$$
   Значит,
   $$F(x)=2\sqrt{x-2}+6.$$

Ответ

1) Если $$F'(x)=0$$ на промежутке, то $$F$$ постоянна на нём; любая первообразная имеет вид $$F(x)+C$$.
2) а) $$\frac{kx^2}{2}+bx+C$$; б) $$\tg x+C$$; в) $$\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$; г) $$\sin x+C$$.
3) а) $$F(x)=-\cos x-\sin x$$; б) $$F(x)=\frac{x^3}{9}+\frac{3}{x}+1$$; в) $$F(x)=x^2-5x+2$$; г) $$F(x)=2\sqrt{x-2}+6$$.