Упр.2 Глава 3 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Сформулируйте признак постоянства функции на заданном промежутке. Сформулируйте основное свойство первообразной.
- Запишите общий вид первообразных для функции:
а) $$f(x)=kx+b$$ ($$k$$ и $$b$$ — постоянные);
б) $$f(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}$$;
в) $$f(x)=x^n$$ ($$n$$ — целое число, $$n\ne-1$$);
г) $$f(x)=\cos(x)$$. - Для функции $$f$$ найдите первообразную $$F$$, принимающую заданное значение в данной точке:
а) $$f(x)=\sin(x)-\cos(x)$$, $$F(?)=1$$;
б) $$f(x)=\frac{x^2}{3}-\frac{3}{x^2}$$, $$F(3)=5$$;
в) $$f(x)=2x-5$$, $$F(1)=-2$$;
г) $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x-2}}$$, $$F(6)=10$$.
1) Если $$F'(x)=0$$ на некотором промежутке $$I$$, то функция $$F$$ постоянна на этом промежутке.
Любая первообразная для функции $$f$$ на промежутке $$I$$ имеет вид $$F(x)+C,$$ где $$F(x)$$ — одна из первообразных для $$f(x)$$ на промежутке $$I,$$ а $$C$$ — произвольная постоянная.
2) Общий вид первообразных:
- $$f(x)=kx+b,\qquad F(x)=\frac{kx^2}{2}+bx+C;$$
- $$f(x)=\frac{1}{\cos^2 x},\qquad F(x)=\tg x+C;$$
- $$f(x)=x^n,\qquad F(x)=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\quad n\ne -1;$$
- $$f(x)=\cos x,\qquad F(x)=\sin x+C.$$
3) Найдём первообразные, удовлетворяющие заданному условию.
$$f(x)=\sin x-\cos x,\qquad F(\pi)=1.$$
$$F(x)=\int (\sin x-\cos x)\,dx=-\cos x-\sin x+C.$$
Подставим $$x=\pi$$:
$$-\cos \pi-\sin \pi+C=1,$$
$$1+0+C=1,\qquad C=0.$$
Следовательно, $$F(x)=-\cos x-\sin x.$$
$$f(x)=\frac{x^2}{3}-\frac{3}{x^2},\qquad F(3)=5.$$
$$F(x)=\int \left(\frac{x^2}{3}-\frac{3}{x^2}\right)dx=\frac{x^3}{9}+\frac{3}{x}+C.$$
Подставим $$x=3$$:
$$\frac{27}{9}+\frac{3}{3}+C=5,$$
$$3+1+C=5,\qquad C=1.$$
Следовательно, $$F(x)=\frac{x^3}{9}+\frac{3}{x}+1.$$
$$f(x)=2x-5,\qquad F(1)=-2.$$
$$F(x)=\int (2x-5)\,dx=x^2-5x+C.$$
Подставим $$x=1$$:
$$1-5+C=-2,$$
$$C=2.$$
Следовательно, $$F(x)=x^2-5x+2.$$
$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x-2}},\qquad F(6)=10.$$
$$F(x)=\int \frac{1}{\sqrt{x-2}}\,dx=2\sqrt{x-2}+C.$$
Подставим $$x=6$$:
$$2\sqrt{6-2}+C=10,$$
$$2\cdot 2+C=10,\qquad C=6.$$
Следовательно, $$F(x)=2\sqrt{x-2}+6.$$
