Упр.199 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 199. При каких значениях а уравнение 3x lg(x)=1+a lg(x) имеет: а) одно решение; б) два решения?

Рассмотрим уравнение

$$3x\lg x=1+a\lg x.$$

Перенесём всё в одну сторону и преобразуем:

$$3x\lg x-a\lg x=1,$$

$$\lg x(3x-a)=1,$$

$$\lg x(3x-a)=\lg 10.$$

Тогда

$$\lg\left(x^{3x-a}\right)=\lg 10,$$

откуда

$$x^{3x-a}=10.$$

Возьмём логарифм по основанию $$x$$:

$$3x-a=\log_x 10,$$

то есть

$$a=3x-\log_x 10.$$

Рассмотрим функцию

$$f(x)=3x-\log_x 10,\qquad x>0,\ x\ne 1.$$

Найдём её поведение на промежутках определения.

При $$x\to 0+$$ имеем $$\log_x 10\to -0$$? Удобнее заметить, что при $$0<x<1$$ величина $$\log_x 10<0$$, поэтому

$$f(x)=3x-\log_x 10>0.$$

При $$x>1$$ функция $$f(x)$$ возрастает, так как и $$3x$$, и $$-\log_x 10$$ ведут себя так, что график пересекает горизонтальную прямую $$y=a$$ не более двух раз. Кроме того,

$$f(1+)=+\infty,\qquad f(+\infty)=+\infty,$$

а на промежутке $$0<x<1$$ значение $$f(x)$$ принимает все положительные значения.

Следовательно:

• если $$a\le 0$$, то уравнение имеет одно решение;
• если $$a>0$$, то уравнение имеет два решения.

Ответ

а) $$a\le 0$$; б) $$a>0$$.