Упр.199 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

При каких значениях $$a$$ уравнение $$3x\lg(x)=1+a\lg(x)$$ имеет: а) одно решение; б) два решения?

Преобразуем уравнение:

$$3x\lg x=1+a\lg x$$

$$3x\lg x-a\lg x=1$$

$$\lg x\,(3x-a)=1$$

Так как $$1=\lg 10,$$ получаем

$$\lg x\,(3x-a)=\lg 10.$$

Это равносильно

$$\lg\left(x^{\,3x-a}\right)=\lg 10,$$

значит,

$$x^{\,3x-a}=10.$$

Возьмём логарифм по основанию $$x$$:

$$3x-a=\log_x 10.$$

Рассмотрим функцию

$$f(x)=3x-\log_x 10-a.$$

При $$x>0,\ x\ne 1$$ она возрастает, так как

$$\log_x 10=\frac{\ln 10}{\ln x},$$

и уравнение может иметь не более двух решений. Чтобы понять, когда решений одно или два, достаточно сравнить значение функции при переходе через точку $$x=1$$:

$$\lim_{x\to 0+} \bigl(3x-\log_x 10-a\bigr)=-a.$$

Отсюда:

• если $$a<0,$$ то график пересекает ось ровно один раз;
• если $$a=0,$$ то получается одно решение;
• если $$a>0,$$ то решений два.

Ответ: а) $$a\le 0$$; б) $$a>0$$.