Упр.197 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) lg(arctg(x))+lg(arcctg(x))=a;
б) log(x+1; x^2-9x+8)·log(x-1; x+1)=3;
в) arcsin(lg(x^2))+arcsin(lg(x))=?/3;
г) log(3-4x^2, 9-16x^4)=2+1/log(2; 3-4x^2).

Подробный ответ

а) Пусть $$y=\arctg x$$, $$z=\operatorname{arcctg}x$$. Тогда
$$\lg y+\lg z=a \;\Rightarrow\; \lg(yz)=a \;\Rightarrow\; yz=10^a.$$
Кроме того,
$$y+z=\arctg x+\operatorname{arcctg}x=\frac{\pi}{2}.$$
Значит, $$y$$ и $$z$$ — корни уравнения
$$t^2-\frac{\pi}{2}t+10^a=0.$$
Тогда
$$D=\frac{\pi^2}{4}-4\cdot 10^a,$$
и
$$y=\frac{\frac{\pi}{2}\pm\sqrt{\frac{\pi^2}{4}-4\cdot 10^a}}{2} =\frac{\pi\pm\sqrt{\pi^2-16\cdot 10^a}}{4}.$$
Следовательно,
$$\arctg x=\frac{\pi\pm\sqrt{\pi^2-16\cdot 10^a}}{4},$$
откуда
$$x=\tg\frac{\pi\pm\sqrt{\pi^2-16\cdot 10^a}}{4}.$$
Для существования решений нужно
$$\pi^2-16\cdot 10^a\ge 0 \;\Rightarrow\; 10^a\le \frac{\pi^2}{16} \;\Rightarrow\; a\le 2\lg\frac{\pi}{4}.$$
б) Обозначим
$$\log_{x+1}(x^2-9x+8)\cdot \log_{x-1}(x+1)=3.$$
Перепишем второй логарифм:
$$\log_{x-1}(x+1)=\frac{1}{\log_{x+1}(x-1)}.$$
Тогда
$$\frac{\log_{x+1}(x^2-9x+8)}{\log_{x+1}(x-1)}=3,$$
то есть
$$\log_{x-1}(x^2-9x+8)=3.$$
Отсюда
$$x^2-9x+8=(x-1)^3.$$
Раскроем скобки:
$$x^2-9x+8=x^3-3x^2+3x-1,$$
$$x^3-4x^2+12x-9=0,$$
$$ (x-1)(x^2-3x+9)=0.$$
Но $$x^2-3x+9=0$$ не имеет действительных корней, а $$x=1$$ не подходит по ОДЗ, так как основания логарифмов должны быть положительными и не равными $$1$$. Следовательно, решений нет.
в) $$\arcsin(\lg x^2)+\arcsin(\lg x)=\frac{\pi}{3}.$$
Так как $$\lg x^2=2\lg x$$, положим $$y=\lg x$$. Тогда
$$\arcsin(2y)+\arcsin(y)=\frac{\pi}{3}.$$
Перенесём одно слагаемое:
$$\arcsin(2y)=\frac{\pi}{3}-\arcsin(y).$$
Возьмём синус обеих частей:
$$2y=\sin\!\left(\frac{\pi}{3}-\arcsin(y)\right) =\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{1-y^2}-\frac{1}{2}y.$$
Тогда
$$4y=\sqrt{3}\sqrt{1-y^2}-y,$$
$$5y=\sqrt{3}\sqrt{1-y^2}.$$
Возведём в квадрат:
$$25y^2=3(1-y^2),$$
$$28y^2=3,$$
$$y^2=\frac{3}{28}, \qquad y=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{28}}.$$
Значит,
$$\lg x=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{28}}, \qquad x=10^{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{28}}}=10^{\frac{\sqrt{21}}{14}}.$$
г) $$\log_{3-4x^2}(9-16x^4)=2+\frac{1}{\log_2(3-4x^2)}.$$
Используем тождество
$$\frac{1}{\log_2(3-4x^2)}=\log_{3-4x^2}2.$$
Тогда
$$\log_{3-4x^2}(9-16x^4)=2+\log_{3-4x^2}2 =\log_{3-4x^2}4+\log_{3-4x^2}2 =\log_{3-4x^2}8,$$
или, что эквивалентно,
$$\log_{3-4x^2}(9-16x^4)=2+\log_{3-4x^2}2 \;\Rightarrow\; \log_{3-4x^2}\frac{9-16x^4}{2}=2.$$
Следовательно,
$$\frac{9-16x^4}{2}=(3-4x^2)^2.$$
Раскроем скобки:
$$9-16x^4=2(9-24x^2+16x^4),$$
$$48x^4-48x^2+9=0.$$
Положим $$t=x^2$$:
$$48t^2-48t+9=0.$$
$$D=48^2-4\cdot 48\cdot 9=576,$$
$$t=\frac{48\pm 24}{96}.$$
Получаем
$$x^2=\frac14 \quad \text{или} \quad x^2=\frac34,$$
то есть
$$x=\pm \frac12,\quad x=\pm \frac{\sqrt3}{2}.$$
Проверим ОДЗ:
$$3-4x^2>0,\qquad 3-4x^2\ne 1.$$
Значения $$x=\pm \frac{\sqrt3}{2}$$ не подходят, так как тогда основание логарифма равно $$0$$. Остаются
$$x=\pm \frac12.$$