Упр.197 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Решите уравнения:
- $$\lg(\operatorname{arctg}(x))+\lg(\operatorname{arcctg}(x))=a$$;
- $$\log(x+1;\,x^2-9x+8)\cdot\log(x-1;\,x+1)=3$$;
- $$\arcsin(\lg(x^2))+\arcsin(\lg(x))=\frac{?}{3}$$;
- $$\log(3-4x^2;\,9-16x^4)=2+\frac{1}{\log(2;\,3-4x^2)}$$.
а) Обозначим $$y=\arctg x$$ и $$z=\arcctg x$$. Тогда
$$\lg y+\lg z=a,\qquad yz=10^a.$$
Кроме того,
$$y+z=\arctg x+\arcctg x=\frac{\pi}{2}.$$
Значит, $$y$$ и $$z$$ — корни уравнения
$$t^2-\frac{\pi}{2}t+10^a=0.$$
Для существования корней нужно
$$D=\left(\frac{\pi}{2}\right)^2-4\cdot 10^a\ge 0,$$
откуда
$$10^a\le \frac{\pi^2}{16},\qquad a\le 2\lg\frac{\pi}{4}.$$
Тогда
$$\arctg x=\frac{\pi\pm\sqrt{\pi^2-16\cdot 10^a}}{4},$$
и, следовательно,
$$x=\tg\frac{\pi\pm\sqrt{\pi^2-16\cdot 10^a}}{4}.$$
б) Пусть
$$\log_{x+1}(x^2-9x+8)\cdot \log_{x-1}(x+1)=3.$$
Используем переход к одному основанию:
$$\frac{\log_{x+1}(x^2-9x+8)}{\log_{x+1}(x-1)}=3,$$
откуда
$$\log_{x-1}(x^2-9x+8)=3.$$
Тогда
$$x^2-9x+8=(x-1)^3.$$
Получаем
$$x^2-9x+8=x^3-3x^2+3x-1,$$
$$x^3-4x^2+12x-9=0,$$
$$(x-1)(x^2-3x+9)=0.$$
У квадратного уравнения дискриминант отрицателен:
$$D=3^2-4\cdot 9=9-36<0.$$
Остаётся $$x=1$$, но это не подходит по области определения, так как основания логарифмов должны быть положительными и не равными $$1$$. Следовательно, корней нет.
в) Пусть $$y=\lg x$$. Тогда
$$\lg(x^2)=2\lg x=2y,$$
и уравнение принимает вид
$$\arcsin(2y)+\arcsin(y)=\frac{\pi}{3}.$$
Перенесём одно слагаемое:
$$\arcsin(2y)=\frac{\pi}{3}-\arcsin(y).$$
Возьмём синус обеих частей:
$$2y=\sin\left(\frac{\pi}{3}-\arcsin y\right).$$
Используя формулу синуса разности, получаем
$$2y=\frac{\sqrt3}{2}\sqrt{1-y^2}-\frac12 y.$$
Тогда
$$5y=\sqrt{3-3y^2},$$
$$25y^2=3-3y^2,$$
$$28y^2=3,$$
$$y^2=\frac{3}{28}.$$
Так как правая часть уравнения $$5y=\sqrt{3-3y^2}$$ неотрицательна, то $$y>0$$. Значит,
$$y=\frac{\sqrt3}{\sqrt{28}}.$$
Следовательно,
$$\lg x=\frac{\sqrt3}{\sqrt{28}},$$
$$x=10^{\frac{\sqrt3}{\sqrt{28}}}=10^{\frac{\sqrt{21}}{14}}.$$
г) Рассмотрим уравнение
$$\log_{3-4x^2}(9-16x^4)=2+\frac{1}{\log_2(3-4x^2)}.$$
Так как
$$\frac{1}{\log_2(3-4x^2)}=\log_{3-4x^2}2,$$
то
$$\log_{3-4x^2}(9-16x^4)=2+\log_{3-4x^2}2.$$
Запишем $$2$$ как логарифм:
$$2=\log_{3-4x^2}(3-4x^2)^2.$$
Тогда
$$\log_{3-4x^2}(9-16x^4)=\log_{3-4x^2}\bigl(2(3-4x^2)^2\bigr).$$
Следовательно,
$$9-16x^4=2(3-4x^2)^2.$$
Раскроем скобки:
$$9-16x^4=2(9-24x^2+16x^4),$$
$$48x^4-48x^2+9=0.$$
Положим $$t=x^2$$. Тогда
$$48t^2-48t+9=0.$$
$$D=48^2-4\cdot 48\cdot 9=576,$$
$$t_{1,2}=\frac{48\pm 24}{96}.$$
Получаем
$$t_1=\frac14,\qquad t_2=\frac34.$$
Значит,
$$x=\pm \frac12,\qquad x=\pm \frac{\sqrt3}{2}.$$
Проверим область определения:
$$3-4x^2>0,\qquad 3-4x^2\ne 1.$$
При $$x=\pm \frac{\sqrt3}{2}$$ имеем $$3-4x^2=0$$, что недопустимо. Поэтому остаются только
$$x=\pm \frac12.$$
Ответ
а) $$x=\tg\frac{\pi\pm\sqrt{\pi^2-16\cdot 10^a}}{4},\quad a\le 2\lg\frac{\pi}{4};$$
б) корней нет;
в) $$x=10^{\frac{\sqrt{21}}{14}};$$
г) $$x=-\frac12,\ \frac12.$$
