Упр.196 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Решите системы уравнений:

а) $$\begin{cases}\log_4 x-\log_2 y=0,\\x^2-2y^2=8;\end{cases}$$

б) $$\begin{cases}3^{2\sqrt{x}-\sqrt{y}}=81,\\\lg\sqrt{xy}=1+\lg 3;\end{cases}$$

в) $$\begin{cases}\log_9 x-\log_3 y=0,\\x^2-5y^2+4=0;\end{cases}$$

г) $$\begin{cases}2\log_2 x-3^y=15,\\3^y\log_2 x=2\log_2 x+3^{y+1}.\end{cases}$$

а) Из первого уравнения:

$$\log_4 x-\log_2 y=0$$

$$\log_2 \sqrt{x}=\log_2 y,\quad y=\sqrt{x}.$$

Подставим во второе уравнение:

$$x^2-2y^2=8$$

$$x^2-2x=8$$

$$x^2-2x-8=0$$

$$D=4+32=36,$$

$$x_1=\frac{2-6}{2}=-2,\quad x_2=\frac{2+6}{2}=4.$$

Так как $$x>0,$$ то подходит только $$x=4,$$ тогда $$y=\sqrt{4}=2.$$

Ответ: $$\left(4;\,2\right).$$

б) Из первого уравнения:

$$3^{2\sqrt{x}-\sqrt{y}}=81=3^4,$$

значит

$$2\sqrt{x}-\sqrt{y}=4.$$

Из второго уравнения:

$$\lg\sqrt{xy}=1+\lg 3=\lg 10+\lg 3=\lg 30,$$

следовательно,

$$\sqrt{xy}=30,\quad xy=900.$$

Положим $$t=\sqrt{x},\; s=\sqrt{y}.$$ Тогда

$$2t-s=4,\quad t^2s^2=900.$$

Из первого уравнения $$s=2t-4,$$ а из условия $$ts=30.$$ Подставим:

$$t(2t-4)=30$$

$$2t^2-4t-30=0$$

$$t^2-2t-15=0$$

$$D=4+60=64,$$

$$t_1=-3,\quad t_2=5.$$

Так как $$t=\sqrt{x}\ge 0,$$ то $$t=5.$$ Тогда

$$x=25,\quad s=2\cdot 5-4=6,\quad y=36.$$

Ответ: $$\left(25;\,36\right).$$

в) Из первого уравнения:

$$\log_9 x-\log_3 y=0.$$

Так как $$\log_9 x=\frac{1}{2}\log_3 x,$$ то

$$\frac{1}{2}\log_3 x=\log_3 y,$$

$$\log_3 x=2\log_3 y=\log_3 y^2,$$

следовательно,

$$x=y^2.$$

Подставим во второе уравнение:

$$x^2-5y^2+4=0$$

$$y^4-5y^2+4=0.$$

Положим $$t=y^2.$$ Тогда

$$t^2-5t+4=0$$

$$\left(t-1\right)\left(t-4\right)=0,$$

откуда

$$t=1 \text{ или } t=4.$$

Значит,

$$y=1,\; x=1 \quad \text{или} \quad y=2,\; x=4.$$

Ответ: $$\left(1;\,1\right),\ \left(4;\,2\right).$$

г) Обозначим $$u=\log_2 x.$$ Тогда система принимает вид

$$\begin{cases} 2u-3^y=15,\\ 3^y u=2u+3^{y+1}. \end{cases}$$

Из первого уравнения:

$$u=\frac{15+3^y}{2}.$$

Подставим во второе:

$$3^y\cdot \frac{15+3^y}{2}=2\cdot \frac{15+3^y}{2}+3^{y+1}.$$

Умножим на $$2$$:

$$3^y(15+3^y)=15+3^y+2\cdot 3^{y+1}.$$

Так как $$2\cdot 3^{y+1}=6\cdot 3^y,$$ получаем

$$3^{2y}+15\cdot 3^y=15+7\cdot 3^y,$$

$$3^{2y}+8\cdot 3^y-15=0.$$

Положим $$t=3^y>0.$$ Тогда

$$t^2+8t-15=0.$$

$$D=64+60=124,$$

$$t=\frac{-8\pm \sqrt{124}}{2}=-4\pm \sqrt{31}.$$

Положительное значение только одно:

$$t=-4+\sqrt{31}.$$

Тогда

$$3^y=-4+\sqrt{31},\quad y=\log_3\left(-4+\sqrt{31}\right),$$

а

$$u=\frac{15+3^y}{2}=\frac{11+\sqrt{31}}{2},\quad x=2^u=2^{\frac{11+\sqrt{31}}{2}}.$$

Ответ: $$\left(2^{\frac{11+\sqrt{31}}{2}};\,\log_3\left(-4+\sqrt{31}\right)\right).$$