Упр.196 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) 9x^lg(x)+91x^(-lg(x))=60; б) |x-1|^(log(2; x)-log(2; x^2))=|x-1|^3;
в) x^(2lg(100/x)-3lg(x))=0,1; г) log(x+1; x^2+x-6)=4.

Подробный ответ

а) $$9x^{\lg x}+91x^{-\lg x}=60.$$
Пусть $$y=x^{\lg x}.$$ Тогда $$x^{-\lg x}=\frac{1}{y}$$, и получаем
$$9y+\frac{91}{y}=60.$$
Умножим на $$y$$:
$$9y^2-60y+91=0.$$
$$D=60^2-4\cdot 9\cdot 91=324,$$
$$y_{1,2}=\frac{60\pm 18}{18}.$$
Отсюда
$$y_1=\frac{7}{3}, \qquad y_2=\frac{13}{3}.$$
Так как $$x^{\lg x}=a,$$ то $$\lg x=\pm \sqrt{\lg a},$$ значит
$$x=10^{\pm \sqrt{\lg a}}.$$
Следовательно,
$$x=10^{\pm \sqrt{\lg \frac{7}{3}}}, \qquad x=10^{\pm \sqrt{\lg \frac{13}{3}}}.$$
б) $$|x-1|^{\log_2 x-\log_2 x^2}=|x-1|^3.$$
Перенесём всё в одну степень:
$$|x-1|^{\log_2 x-\log_2 x^2-3}=1.$$
Рассмотрим случаи.
1) $$|x-1|=1,$$ тогда $$x-1=1$$ или $$x-1=-1.$$
С учётом области определения $$x>0$$ получаем $$x=2.$$
2) $$\log_2 x-\log_2 x^2-3=0.$$
Так как $$x>0,$$ то $$\log_2 x^2=2\log_2 x,$$ значит
$$\log_2 x-2\log_2 x-3=0,$$
$$-\log_2 x=3,$$
$$\log_2 x=-3,$$
$$x=\frac18.$$
Оба значения подходят.
в) $$x^{2\lg \frac{100}{x}-3\lg x}=0{,}1.$$
Так как $$0{,}1=10^{-1},$$ то после логарифмирования получаем
$$\lg x\left(2\lg \frac{100}{x}-3\lg x\right)=-1.$$
Пусть $$y=\lg x.$$ Тогда
$$\lg \frac{100}{x}=2-\lg x=2-y.$$
Получаем
$$y\bigl(2(2-y)-3y\bigr)=-1,$$
$$y(4-5y)=-1,$$
$$5y^2-4y-1=0.$$
$$D=4^2+4\cdot 5=36,$$
$$y_{1,2}=\frac{4\pm 6}{10}.$$
Тогда
$$y_1=-\frac15,\qquad y_2=1.$$
Следовательно,
$$x=10^{-1/5}=\frac{1}{\sqrt[5]{10}}, \qquad x=10.$$
г) $$\log_{x+1}(x^2+x-6)=4.$$
Область определения:
$$x+1>0,\quad x+1\ne 1,\quad x^2+x-6>0.$$
То есть
$$x>-1,\quad x\ne 0,\quad (x+3)(x-2)>0.$$
Из последнего неравенства:
$$x<-3 \quad \text{или} \quad x>2.$$
С учётом $$x>-1$$ остаётся $$x>2.$$
По определению логарифма:
$$x^2+x-6=(x+1)^4.$$
Раскроем скобки:
$$x^2+x-6=x^4+4x^3+6x^2+4x+1,$$
$$x^4+4x^3+5x^2+3x+7=0.$$
При $$x>2$$ левая часть положительна, значит решений нет.