Упр.196 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Найдём мгновенную скорость по определению:

$$v=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{x(t_0+\Delta t)-x(t_0)}{\Delta t}.$$

а)

$$x(t)=-t^2+8t,\quad t_0=6.$$

$$\begin{aligned} x(t_0+\Delta t)-x(t_0) &=-(t_0+\Delta t)^2+8(t_0+\Delta t)-(-t_0^2+8t_0) \\ &=-2t_0\Delta t-(\Delta t)^2+8\Delta t \\ &=\Delta t(8-2t_0-\Delta t). \end{aligned}$$

$$v=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta t(8-2t_0-\Delta t)}{\Delta t}=8-2t_0.$$

При $$t_0=6$$ получаем:

$$v=8-2\cdot 6=-4.$$

б)

$$x(t)=3t^3+2,\quad t_0=2.$$

$$\begin{aligned} x(t_0+\Delta t)-x(t_0) &=3(t_0+\Delta t)^3+2-(3t_0^3+2) \\ &=9t_0^2\Delta t+9t_0(\Delta t)^2+3(\Delta t)^3. \end{aligned}$$

$$v=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{9t_0^2\Delta t+9t_0(\Delta t)^2+3(\Delta t)^3}{\Delta t} =\lim_{\Delta t\to 0}\left(9t_0^2+9t_0\Delta t+3(\Delta t)^2\right)=9t_0^2.$$

При $$t_0=2$$:

$$v=9\cdot 2^2=36.$$

в)

$$x(t)=\frac{t^2}{4},\quad t_0=4.$$

$$\begin{aligned} x(t_0+\Delta t)-x(t_0) &=\frac{(t_0+\Delta t)^2-t_0^2}{4} \\ &=\frac{2t_0\Delta t+(\Delta t)^2}{4}. \end{aligned}$$

$$v=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{2t_0\Delta t+(\Delta t)^2}{4\Delta t} =\lim_{\Delta t\to 0}\frac{2t_0+\Delta t}{4} =\frac{t_0}{2}.$$

При $$t_0=4$$:

$$v=\frac{4}{2}=2.$$

г)

$$x(t)=5t-3,\quad t_0=10.$$

$$\begin{aligned} x(t_0+\Delta t)-x(t_0) &=5(t_0+\Delta t)-3-(5t_0-3) \\ &=5\Delta t. \end{aligned}$$

$$v=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{5\Delta t}{\Delta t}=5.$$

Ответ

а) $$-4$$; б) $$36$$; в) $$2$$; г) $$5$$.