Упр.196 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Решите уравнения: а) $$9x^{\lg x}+91x^{-\lg x}=60$$; б) $$|x-1|^{\log_2 x-\log_2 x^2}=|x-1|^3$$; в) $$x^{2\lg\left(\frac{100}{x}\right)-3\lg x}=0{,}1$$; г) $$\log_{x+1}(x^2+x-6)=4$$.
а) Обозначим $$y=x^{\lg x}.$$ Тогда
$$9y+\frac{91}{y}=60.$$
Умножим на $$y$$:
$$9y^2-60y+91=0.$$
$$D=60^2-4\cdot 9\cdot 91=3600-3276=324.$$
$$y_{1,2}=\frac{60\pm 18}{18}.$$
Отсюда
$$y_1=\frac{7}{3}, \qquad y_2=\frac{13}{3}.$$
Так как $$x^{\lg x}=10^{(\lg x)^2},$$ то
$$10^{(\lg x)^2}=a \;\Longrightarrow\; (\lg x)^2=\lg a \;\Longrightarrow\; \lg x=\pm \sqrt{\lg a}.$$
Следовательно,
$$x=10^{\pm \sqrt{\lg a}}.$$
При $$a=\frac{7}{3}$$ и $$a=\frac{13}{3}$$ получаем:
$$x=10^{\pm \sqrt{\lg \frac{7}{3}}}, \qquad x=10^{\pm \sqrt{\lg \frac{13}{3}}}.$$
б) Так как $$\log_2 x-\log_2 x^2=\log_2 x-2\log_2|x|,$$ а при $$x>0$$ имеем $$|x-1|^{\log_2 x-\log_2 x^2}=|x-1|^3,$$ то уравнение равносильно
$$|x-1|^{\log_2 x-\log_2 x^2-3}=1.$$
Рассмотрим случаи:
1) $$|x-1|=1,$$ откуда $$x=2$$ или $$x=0.$$ Но $$x=0$$ не подходит по ОДЗ, значит $$x=2.$$
2) $$\log_2 x-\log_2 x^2-3=0.$$ Тогда
$$\log_2 x-2\log_2 x-3=0,$$
$$-\log_2 x=3,$$
$$\log_2 x=-3,$$
$$x=\frac18.$$
Проверка ОДЗ: $$x>0,$$ $$x\ne 1.$$ Оба найденных значения подходят.
в) Так как $$0{,}1=10^{-1},$$ то
$$x^{2\lg \frac{100}{x}-3\lg x}=10^{-1}.$$
Возьмём логарифм по основанию $$10$$:
$$\lg x\left(2\lg \frac{100}{x}-3\lg x\right)=-1.$$
Поскольку $$\lg \frac{100}{x}=2-\lg x,$$ получаем
$$\lg x\,(4-5\lg x)=-1.$$
Пусть $$y=\lg x.$$ Тогда
$$y(4-5y)=-1,$$
$$5y^2-4y-1=0.$$
$$D=16+20=36,$$
$$y_{1,2}=\frac{4\pm 6}{10}.$$
Отсюда
$$y_1=-\frac15,\qquad y_2=1.$$
Значит,
$$x=10^{-1/5}=\frac{1}{\sqrt[5]{10}}, \qquad x=10.$$
г) Область определения:
$$x^2+x-6>0,\qquad x+1>0.$$
Имеем
$$x^2+x-6=(x+3)(x-2),$$
поэтому
$$x<-3 \quad \text{или} \quad x>2.$$
С учётом $$x+1>0$$ получаем ОДЗ:
$$x>2.$$
Теперь решим уравнение:
$$\log_{x+1}(x^2+x-6)=4 \;\Longrightarrow\; x^2+x-6=(x+1)^4.$$
Раскроем скобки:
$$x^2+x-6=x^4+4x^3+6x^2+4x+1,$$
$$x^4+4x^3+5x^2+3x+7=0.$$
При $$x>2$$ левая часть положительна, значит действительных корней нет.
Ответ
а) $$x=10^{\pm \sqrt{\lg \frac{7}{3}}},\; 10^{\pm \sqrt{\lg \frac{13}{3}}};$$ б) $$\frac18,\; 2;$$ в) $$\frac{1}{\sqrt[5]{10}},\; 10;$$ г) корней нет.
