Упр.195 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнения:
   а) $$\sqrt{1+\log_2 x}+\sqrt{4\log_4 x-2}=4$$;
   б) $$\log_6\left(2^{x+3}\right)-\log_6\left(\left|3^x-3\right|\right)=x$$;
   в) $$\log_{\frac{1}{3}}\left(3+\left|\sin x\right|\right)=2^{|x|}-2$$;
   г) $$\sqrt[3]{1+\lg(\operatorname{tg}x)}+\sqrt[3]{1-\lg(\operatorname{tg}x)}=2$$.

а) Пусть $$y=\log_2 x.$$ Тогда уравнение принимает вид

$$\sqrt{1+y}+\sqrt{2y-2}=4.$$

Возведём в квадрат:

$$1+y+2\sqrt{(1+y)(2y-2)}+2y-2=16,$$

$$2\sqrt{2(y+1)(y-1)}=17-3y.$$

Снова возведём в квадрат:

$$8(y+1)(y-1)=(17-3y)^2,$$

$$8y^2-8=289-102y+9y^2,$$

$$y^2-102y+297=0.$$

Тогда

$$D=102^2-4\cdot 297=9216,$$

$$y_1=\frac{102-96}{2}=3,\qquad y_2=\frac{102+96}{2}=99.$$

С учётом области допустимых значений:

$$1+y\ge 0,\quad 2y-2\ge 0 \Rightarrow y\ge 1,$$

$$17-3y\ge 0 \Rightarrow y\le \frac{17}{3},$$

подходит только $$y=3.$$ Тогда

$$\log_2 x=3,\qquad x=2^3=8.$$

Ответ: $$8.$$

б) Используем свойство логарифмов:

$$\log_6 2^{x+3}-\log_6|3^x-3|=x,$$

$$\log_6\frac{2^{x+3}}{|3^x-3|}=x,$$

$$\frac{2^{x+3}}{|3^x-3|}=6^x.$$

Так как $$2^{x+3}=8\cdot 2^x$$ и $$6^x=2^x\cdot 3^x,$$ получаем

$$\frac{8}{|3^x-3|}=3^x,$$

$$8=3^x|3^x-3|.$$

Рассмотрим случаи.

Если $$x>1,$$ то $$3^x-3>0,$$ и

$$3^x(3^x-3)=8.$$

Положим $$t=3^x.$$ Тогда

$$t^2-3t-8=0,$$

$$t=\frac{3\pm\sqrt{41}}{2}.$$

Подходит только положительный корень:

$$3^x=\frac{3+\sqrt{41}}{2},\qquad x=\log_3\frac{3+\sqrt{41}}{2}.$$

Если $$x<1,$$ то $$3^x-3<0,$$ и

$$3^x(3-3^x)=8.$$

Положим $$t=3^x.$$ Тогда

$$t(3-t)=8,$$

$$t^2-3t+8=0,$$

$$D=9-32<0,$$

решений нет.

Ответ: $$\log_3\frac{3+\sqrt{41}}{2}.$$

в) Так как $$|\sin x|\ge 0,$$ то

$$3+|\sin x|\ge 3,$$

а при основании $$\frac13<1$$ имеем

$$\log_{1/3}(3+|\sin x|)\le \log_{1/3}3=-1.$$

Правая часть равенства

$$2^{|x|}-2\ge -1.$$

Значит, обе части могут быть равны только при минимальных значениях. Проверим $$x=0$$:

$$\log_{1/3}(3+|\sin 0|)=\log_{1/3}3=-1,$$

$$2^{|0|}-2=1-2=-1.$$

Следовательно, $$x=0$$ — решение.

Ответ: $$0.$$

г) Пусть $$y=\lg(\tg x).$$ Тогда уравнение имеет вид

$$\sqrt[3]{1+y}+\sqrt[3]{1-y}=2.$$

Обозначим

$$a=\sqrt[3]{1+y},\qquad b=\sqrt[3]{1-y}.$$

Тогда $$a+b=2,$$ а также

$$a^3+b^3=2.$$

Используем формулу

$$a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b).$$

Получаем

$$2=8-6ab,$$

$$ab=1.$$

Тогда

$$\sqrt[3]{(1+y)(1-y)}=1,$$

$$\sqrt[3]{1-y^2}=1,$$

$$1-y^2=1,$$

$$y=0.$$

Значит,

$$\lg(\tg x)=0,\qquad \tg x=1,$$

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: $$\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$