Упр.194 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите системы уравнений:
   
   а) $$\begin{cases}\lg(x)-\lg(y)=1,\\ \lg^2(x)+\lg^2(y)=5;\end{cases}$$
   
   б) $$\begin{cases}\log_{2}(x^2+y^2)=5,\\ 2\log_{4}(x)+\log_{2}(y)=4;\end{cases}$$
   
   в) $$\begin{cases}\lg(x)-\lg(y)=7,\\ \lg(x)+\lg(y)=5;\end{cases}$$
   
   г) $$\begin{cases}\log_{2}(x+1)=\log_{2}\left(y+\frac{1}{4}\right),\\ \log_{2}(x)-2\log_{2}\left(y-\frac{1}{2}\right)=0.\end{cases}$$

а) Обозначим $$z=\lg x.$$ Тогда из первого уравнения получаем $$\lg y=\lg x-1=z-1.$$ Подставим во второе:

$$z^2+(z-1)^2=5$$

$$2z^2-2z-4=0$$

$$z^2-z-2=0$$

$$\left(z-2\right)\left(z+1\right)=0$$

Отсюда $$z=2$$ или $$z=-1.$$ Тогда

$$x=10^2=100,\quad y=10^{2-1}=10$$

или

$$x=10^{-1}=0{,}1,\quad y=10^{-2}=0{,}01.$$

б) Второе уравнение преобразуем:

$$2\log_4 x+\log_2 y=4$$

Так как $$\log_4 x=\frac{1}{2}\log_2 x,$$ то

$$\log_2 x+\log_2 y=4$$

$$\log_2(xy)=4$$

$$xy=16.$$

Из первого уравнения:

$$\log_2(x^2+y^2)=5 \Rightarrow x^2+y^2=32.$$

Подставим $$y=\frac{16}{x}$$:

$$x^2+\frac{256}{x^2}=32$$

$$x^4-32x^2+256=0$$

$$\left(x^2-16\right)^2=0$$

$$x^2=16,\quad x=4$$

Так как $$x>0$$ и $$y>0,$$ то $$y=4.$$

в) Сложим уравнения:

$$\left(\lg x-\lg y\right)+\left(\lg x+\lg y\right)=7+5$$

$$2\lg x=12$$

$$\lg x=6,\quad x=10^6.$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$\left(\lg x+\lg y\right)-\left(\lg x-\lg y\right)=5-7$$

$$2\lg y=-2$$

$$\lg y=-1,\quad y=10^{-1}=0{,}1.$$

г) Из первого уравнения:

$$\log_2(x+1)=\log_2\left(y+\frac14\right)\Rightarrow x+1=y+\frac14,$$

то есть

$$y=x+\frac34.$$

Во втором уравнении:

$$\log_2 x-2\log_2\left(y-\frac12\right)=0$$

$$\log_2 x=\log_2\left(y-\frac12\right)^2$$

$$x=\left(y-\frac12\right)^2.$$

Подставим $$y=x+\frac34$$:

$$x=\left(x+\frac34-\frac12\right)^2=\left(x+\frac14\right)^2$$

$$x=x^2+\frac12x+\frac1{16}$$

$$x^2-\frac12x+\frac1{16}=0$$

$$16x^2-8x+1=0$$

$$\left(4x-1\right)^2=0$$

$$x=\frac14,\quad y=\frac14+\frac34=1.$$

Ответ

а) $$\left(0{,}1;\,0{,}01\right),\ \left(100;\,10\right);$$ б) $$\left(4;\,4\right);$$ в) $$\left(10^6;\,0{,}1\right);$$ г) $$\left(0{,}25;\,1\right).$$