Упр.194 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Найдём производную по определению и затем подставим нужные значения.
$$f(x)=x^2-3x$$
$$\Delta f=f(x+\Delta x)-f(x)=(x+\Delta x)^2-3(x+\Delta x)-(x^2-3x)$$
$$\Delta f=2x\Delta x+(\Delta x)^2-3\Delta x=\Delta x(2x+\Delta x-3)$$
$$\frac{\Delta f}{\Delta x}=2x+\Delta x-3$$
При $$\Delta x\to 0$$ получаем
$$f'(x)=2x-3$$
$$f'(-1)=2\cdot(-1)-3=-5,\qquad f'(2)=2\cdot 2-3=1$$
$$f(x)=2x^3$$
$$\Delta f=2(x+\Delta x)^3-2x^3=6x^2\Delta x+6x(\Delta x)^2+2(\Delta x)^3$$
$$\frac{\Delta f}{\Delta x}=6x^2+6x\Delta x+2(\Delta x)^2$$
При $$\Delta x\to 0$$ получаем
$$f'(x)=6x^2$$
$$f'(0)=6\cdot 0^2=0,\qquad f'(1)=6\cdot 1^2=6$$
$$f(x)=\frac{1}{x}$$
$$\Delta f=\frac{1}{x+\Delta x}-\frac{1}{x}=-\frac{\Delta x}{x(x+\Delta x)}$$
$$\frac{\Delta f}{\Delta x}=-\frac{1}{x(x+\Delta x)}$$
При $$\Delta x\to 0$$ получаем
$$f'(x)=-\frac{1}{x^2}$$
$$f'(-2)=-\frac{1}{(-2)^2}=-\frac14,\qquad f'(1)=-\frac{1}{1^2}=-1$$
$$f(x)=4-x^2$$
$$\Delta f=4-(x+\Delta x)^2-(4-x^2)=-2x\Delta x-(\Delta x)^2$$
$$\frac{\Delta f}{\Delta x}=-2x-\Delta x$$
При $$\Delta x\to 0$$ получаем
$$f'(x)=-2x$$
$$f'(3)=-2\cdot 3=-6,\qquad f'(0)=-2\cdot 0=0$$
Ответ: а) $$f'(-1)=-5,\ f'(2)=1$$; б) $$f'(0)=0,\ f'(1)=6$$; в) $$f'(-2)=-\frac14,\ f'(1)=-1$$; г) $$f'(3)=-6,\ f'(0)=0$$.
