Упр.193 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
а) {3^x·7^y=63, 3^x+7^y=16}; б) {3^x-2^(2y)=77, v3^x-2^y=7};
в) {4^x·4^y=64, 4^x-4^y=63}; г) {v2^x-3^y=-7, 2^x-3^y=-5}.
а)
$$\begin{cases} 3^x\cdot 7^y=63,\\ 3^x+7^y=16 \end{cases}$$
Обозначим $$a=3^x$$, $$b=7^y$$. Тогда
$$\begin{cases} ab=63,\\ a+b=16 \end{cases}$$
Числа $$a$$ и $$b$$ — корни уравнения
$$t^2-16t+63=0,$$
$$D=16^2-4\cdot 63=4,$$
$$t_{1,2}=\frac{16\pm 2}{2}.$$Получаем $$t=7$$ и $$t=9$$. Значит,
$$3^x=9,\quad 7^y=7$$
или
$$3^x=7,\quad 7^y=9.$$Отсюда
$$x=2,\ y=1$$
или
$$x=\log_3 7,\ y=\log_7 9.$$б)
$$\begin{cases} 3^x-2^{2y}=77,\\ \sqrt{3^x}-2^y=7 \end{cases}$$
Положим $$a=\sqrt{3^x}$$, $$b=2^y$$. Тогда $$3^x=a^2$$, $$2^{2y}=b^2$$, и система принимает вид
$$\begin{cases} a^2-b^2=77,\\ a-b=7 \end{cases}$$
Разложим разность квадратов:
$$(a-b)(a+b)=77.$$
Так как $$a-b=7$$, то
$$7(a+b)=77,\quad a+b=11.$$
Решаем систему
$$\begin{cases} a-b=7,\\ a+b=11 \end{cases}$$
$$a=9,\quad b=2.$$
Тогда
$$\sqrt{3^x}=9 \Rightarrow 3^x=81 \Rightarrow x=4,$$
$$2^y=2 \Rightarrow y=1.$$в)
$$\begin{cases} 4^x\cdot 4^y=64,\\ 4^x-4^y=63 \end{cases}$$
Обозначим $$a=4^x$$, $$b=4^y$$. Тогда
$$\begin{cases} ab=64,\\ a-b=63 \end{cases}$$
Из второго уравнения $$a=63+b$$. Подставим в первое:
$$b(63+b)=64,$$
$$b^2+63b-64=0.$$$$D=63^2+4\cdot 64=4225,$$
$$b=\frac{-63\pm 65}{2}.$$Получаем $$b=1$$ или $$b=-64$$. Так как $$4^y>0$$, то $$b=1$$.
$$4^y=1 \Rightarrow y=0,$$
$$4^x=64 \Rightarrow x=3.$$г)
$$\begin{cases} \sqrt{2^x}-3^y=-7,\\ 2^x-3^y=-5 \end{cases}$$
Обозначим $$a=\sqrt{2^x}$$, $$b=3^y$$. Тогда $$2^x=a^2$$, и система имеет вид
$$\begin{cases} a-b=-7,\\ a^2-b=-5 \end{cases}$$
Из первого уравнения $$b=a+7$$. Подставим во второе:
$$a^2-(a+7)=-5,$$
$$a^2-a-2=0,$$
$$(a-2)(a+1)=0.$$Так как $$a=\sqrt{2^x}\ge 0$$, то $$a=2$$. Тогда
$$\sqrt{2^x}=2 \Rightarrow 2^x=4 \Rightarrow x=2,$$
$$3^y=a+7=9 \Rightarrow y=2.$$
Ответ
а) $$(2;1),\ (\log_3 7;\ \log_7 9)$$;
б) $$(4;1)$$;
в) $$(3;0)$$;
г) $$(2;2)$$.
