Упр.193 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Найдите все значения $$a$$, для которых неравенство $$4^x-a\cdot 2^x-a+3?0$$ имеет хотя бы одно решение.

Подробный ответ

Положим $$y=2^x,$$ тогда $$y>0$$ и неравенство принимает вид

$$y^2-a y-(a-3)\le 0.$$

Рассмотрим квадратный трёхчлен как функцию от $$y$$. Чтобы неравенство имело хотя бы одно решение, достаточно, чтобы у него были действительные корни и хотя бы одно из значений $$y=2^x>0$$ попадало в промежуток между корнями.

Найдём дискриминант:

$$D=a^2+4(a-3)=a^2+4a-12=(a+6)(a-2).$$

Для существования действительных корней нужно

$$D\ge 0,$$

то есть

$$a\le -6 \quad \text{или} \quad a\ge 2.$$

Теперь проверим, при каких из этих значений существует решение при $$y>0$$.

Если $$a\le -6,$$ то свободный член равен $$-(a-3)=3-a>0,$$ а коэффициент при $$y^2$$ положителен. Тогда оба корня квадратного трёхчлена отрицательны, и при $$y>0$$ неравенство решений не имеет.

Если $$a\ge 2,$$ то при $$y=1$$ получаем

$$1-a-(a-3)=4-2a\le 0,$$

значит, при некотором $$y>0$$ неравенство выполняется.

Следовательно, искомые значения параметра:

$$a\in[2;+\infty).$$