Упр.192 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Решите системы уравнений:

а) $$\begin{cases}4^{\log_4(2x)}-y=-1,\\5^{2x-y}+5^x=5{,}2;\end{cases}$$

б) $$\begin{cases}2^x+3^y=17,\\2^{x+2}-3^{y+1}=5;\end{cases}$$

в) $$\begin{cases}3^{\log_3(y+x)}=2,\\2^{2x+y}=16;\end{cases}$$

г) $$\begin{cases}\log_{\sqrt{2}}(y-x)=4,\\3^x+2\cdot3^{y-2}=171.\end{cases}$$

а) Из первого уравнения:

$$4^{\log_4(2x)}-y=-1$$

$$2x-y=-1,$$

откуда

$$y=2x+1,\qquad x>0.$$

Подставим во второе уравнение:

$$5^{2x-y}+5^x=5{,}2$$

$$5^{2x-(2x+1)}+5^x=5{,}2$$

$$\frac15+5^x=5{,}2$$

$$5^x=5,$$

значит, $$x=1.$$ Тогда

$$y=2\cdot 1+1=3.$$

Ответ: $$(1;\,3).$$

б) Из первого уравнения:

$$2^x+3^y=17,$$

а из второго:

$$2^{x+2}-3^{y+1}=5.$$

Преобразуем второе уравнение:

$$4\cdot 2^x-3\cdot 3^y=5.$$

Обозначим $$2^x=a,\quad 3^y=b.$$ Тогда получаем систему:

$$\begin{cases} a+b=17,\\ 4a-3b=5. \end{cases}$$

Из первого уравнения $$b=17-a.$$ Подставим во второе:

$$4a-3(17-a)=5$$

$$4a-51+3a=5$$

$$7a=56$$

$$a=8.$$

Тогда $$2^x=8,$$ значит $$x=3.$$

И

$$3^y=17-8=9,$$

откуда $$y=2.$$

Ответ: $$(3;\,2).$$

в) Из первого уравнения:

$$3^{\log_3(x+y)}=2,$$

следовательно,

$$x+y=2.$$

Из второго уравнения:

$$2^{2x+y}=16=2^4,$$

значит

$$2x+y=4.$$

Решим систему:

$$\begin{cases} x+y=2,\\ 2x+y=4. \end{cases}$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$x=2.$$

Тогда

$$y=2-2=0.$$

Ответ: $$(2;\,0).$$

г) Из первого уравнения:

$$\log_{\sqrt2}(y-x)=4,$$

откуда

$$y-x=(\sqrt2)^4=4,$$

то есть

$$y=x+4.$$

Подставим во второе уравнение:

$$3^x+2\cdot 3^{y-2}=171$$

$$3^x+2\cdot 3^{x+4-2}=171$$

$$3^x+2\cdot 3^{x+2}=171$$

$$3^x+2\cdot 9\cdot 3^x=171$$

$$19\cdot 3^x=171$$

$$3^x=9,$$

значит, $$x=2.$$ Тогда

$$y=2+4=6.$$

Ответ: $$(2;\,6).$$