Упр.192 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Решите неравенства:

1. а) $$(x-2)^{x^2-6x+8}>1$$; б) $$9^{\sqrt{x^2-3}}+3<3^{\sqrt{x^2-3}}\cdot\frac{28}{3}$$.

а) Рассмотрим два случая, когда основание степени и показатель дают значение больше $$1$$.

1) $$x-2>1,\quad x^2-6x+8>0.$$

Из $$x-2>1$$ получаем $$x>3.$$

Решим неравенство $$x^2-6x+8>0.$$

$$x^2-6x+8=(x-2)(x-4),$$

поэтому

$$x<2 \quad \text{или} \quad x>4.$$

С учётом $$x>3$$ получаем $$x>4.$$

2) $$0<x-2<1,\quad x^2-6x+8<0.$$

Из $$0<x-2<1$$ имеем $$2<x<3.$$

А из $$x^2-6x+8<0$$ следует

$$2<x<4.$$

Пересечение условий:

$$2<x<3.$$

Итак,

$$x\in(2;3)\cup(4;+\infty).$$

б) Преобразуем неравенство:

$$9^{\sqrt{x^2-3}}+3<3^{\sqrt{x^2-3}}\cdot \frac{28}{3}.$$

Так как $$9^{\sqrt{x^2-3}}=3^{2\sqrt{x^2-3}},$$ положим

$$y=3^{\sqrt{x^2-3}},\quad y>0.$$

Тогда получаем:

$$y^2+3<\frac{28}{3}y,$$

или

$$3y^2-28y+9<0.$$

Найдём корни:

$$D=28^2-4\cdot 3\cdot 9=784-108=676,$$

$$y_1=\frac{28-26}{6}=\frac13,\qquad y_2=\frac{28+26}{6}=9.$$

Значит,

$$\frac13<y<9.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\frac13<3^{\sqrt{x^2-3}}<9.$$

Так как основание $$3>1$$, получаем

$$-1<\sqrt{x^2-3}<2.$$

Но $$\sqrt{x^2-3}\ge 0,$$ значит достаточно

$$\sqrt{x^2-3}<2.$$

Тогда

$$x^2-3<4,\quad x^2<7,\quad |x|<\sqrt7.$$

При этом область определения:

$$x^2-3\ge 0,\quad |x|\ge \sqrt3.$$

Итак,

$$\sqrt3\le |x|<\sqrt7,$$

то есть

$$x\in(-\sqrt7;-\sqrt3]\cup[\sqrt3;\sqrt7).$$