Упр.191 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите системы уравнений:
   а) $$\begin{cases}9^{x+y}=729,\\36(x-y-1)=1;\end{cases}$$
   б) $$\begin{cases}2^x-2^y=16,\\x+y=9;\end{cases}$$
   в) $$\begin{cases}(\sqrt{5})^{x-y}=25,\\2^{6y-x-1}=1;\end{cases}$$
   г) $$\begin{cases}3^x+3^y=28,\\x-y=3.\end{cases}$$

а) $$9^{x+y}=729,\quad 3^{x-y-1}=1$$

Так как $$729=9^3,$$ то из первого уравнения получаем:

$$x+y=3.$$

Из второго уравнения, поскольку $$1=3^0,$$ имеем:

$$x-y-1=0,\quad x-y=1.$$

Решим систему:

$$\begin{cases} x+y=3,\\ x-y=1. \end{cases}$$

Сложим уравнения:

$$2x=4,\quad x=2.$$

Тогда

$$y=3-2=1.$$

Ответ: $$\,(2;\,1)\,.$$

б) $$2^x-2^y=16,\quad x+y=9$$

Из второго уравнения:

$$y=9-x.$$

Подставим в первое:

$$2^x-2^{9-x}=16.$$

Обозначим $$t=2^x,$$ тогда $$2^{9-x}=\dfrac{512}{t}.$$ Получаем:

$$t-\frac{512}{t}=16.$$

Умножим на $$t$$:

$$t^2-16t-512=0.$$

$$D=16^2+4\cdot512=2304,\quad \sqrt D=48.$$

$$t=\frac{16\pm48}{2}.$$

Подходит только положительное значение:

$$t=32.$$

Значит,

$$2^x=32,\quad x=5,\quad y=9-5=4.$$

Ответ: $$\,(5;\,4)\,.$$

в) $$\left(\sqrt5\right)^{x-y}=25,\quad 2^{6y-x-1}=1$$

Так как $$25=5^2=(\sqrt5)^4,$$ то

$$x-y=4.$$

Из второго уравнения, поскольку $$1=2^0,$$ имеем:

$$6y-x-1=0,\quad 6y-x=1.$$

Решим систему:

$$\begin{cases} x-y=4,\\ 6y-x=1. \end{cases}$$

Из первого уравнения $$x=y+4.$$ Подставим во второе:

$$6y-(y+4)=1,$$

$$5y=5,\quad y=1.$$

Тогда

$$x=1+4=5.$$

Ответ: $$\,(5;\,1)\,.$$

г) $$3^x+3^y=28,\quad x-y=3$$

Из второго уравнения:

$$y=x-3.$$

Подставим в первое:

$$3^x+3^{x-3}=28.$$

Вынесем $$3^{x-3}$$ за скобки:

$$3^{x-3}(3^3+1)=28,$$

$$3^{x-3}\cdot28=28.$$

Следовательно,

$$3^{x-3}=1,\quad x-3=0,\quad x=3.$$

Тогда

$$y=3-3=0.$$

Ответ: $$\,(3;\,0)\,.$$