Упр.191 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
а) 2^x+2^|x|?2v2; б) 25·2^x-10^x+5^x > 25;
в) a^x < b^(2+x); г) (2^(x-1)-1)/(2^(x+1)+1) < 2.
а) Рассмотрим два случая.
Если $$x \ge 0,$$ то $$|x|=x,$$ и получаем
$$2^x+2^{|x|}\ge 2\sqrt2 \;\Rightarrow\; 2^x+2^x\ge 2\sqrt2 \;\Rightarrow\; 2^{x+1}\ge 2^{3/2}.$$
Тогда
$$x+1\ge \frac32,\qquad x\ge \frac12.$$
Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ и
$$2^x+2^{-x}\ge 2\sqrt2.$$
Обозначим $$t=2^x, t>0.$$ Тогда
$$t+\frac1t\ge 2\sqrt2 \;\Rightarrow\; t^2-2\sqrt2\,t+1\ge 0.$$
Корни уравнения:
$$t=\frac{2\sqrt2\pm\sqrt{8-4}}{2}=\sqrt2\pm1.$$
Так как парабола направлена вверх, то
$$t\le \sqrt2-1 \quad \text{или} \quad t\ge \sqrt2+1.$$
Следовательно,
$$2^x\le \sqrt2-1 \quad \text{или} \quad 2^x\ge \sqrt2+1,$$
то есть
$$x\le \log_2(\sqrt2-1) \quad \text{или} \quad x\ge \log_2(\sqrt2+1).$$
С учётом условия $$x<0$$ остаётся
$$x\le \log_2(\sqrt2-1).$$
б) Преобразуем неравенство:
$$25\cdot 2^x-10^x+5^x>25.$$
Так как $$10^x=2^x\cdot 5^x,$$ получаем
$$25\cdot 2^x-2^x5^x+5^x-25>0.$$
Сгруппируем:
$$25(2^x-1)-5^x(2^x-1)>0,$$
$$\bigl(25-5^x\bigr)\bigl(2^x-1\bigr)>0.$$
Положим $$u=5^x, v=2^x.$$ Тогда
$$u<25 \iff x<2,\qquad v>1 \iff x>0.$$
Произведение положительно при
$$0<x<2.$$
в) Имеем
$$a^x<b^{x+2}=b^2\cdot b^x.$$
При $$a>0,\ b>0,\ b\ne 1$$ делим на $$b^x>0$$:
$$\left(\frac{a}{b}\right)^x<b^2.$$
Далее ответ зависит от того, больше или меньше $$a$$ числа $$b$$:
если $$a>b,$$ то $$\frac{a}{b}>1,$$ поэтому
$$x<2\log_{\frac{a}{b}} b;$$
если $$a<b,$$ то $$0<\frac{a}{b}<1,$$ и знак неравенства меняется:
$$x>2\log_{\frac{a}{b}} b.$$
г) Преобразуем неравенство:
$$\frac{2^{x-1}-1}{2^{x+1}+1}<2.$$
Знаменатель всегда положителен, так как
$$2^{x+1}+1>0.$$
Умножим на него:
$$2^{x-1}-1<2\bigl(2^{x+1}+1\bigr).$$
$$2^{x-1}-1<2^{x+2}+2.$$
Перенесём всё в одну сторону:
$$2^{x-1}-2^{x+2}<3.$$
$$2^{x-1}(1-8)<3.$$
$$-7\cdot 2^{x-1}<3.$$
Так как левая часть всегда отрицательна, а правая положительна, неравенство верно при всех $$x\in\mathbb R.$$
Ответ
а) $$(-\infty;\log_2(\sqrt2-1)]\cup\left[\frac12;+\infty\right);$$ б) $$(0;2);$$ в) при $$a>b$$: $$x<2\log_{\frac{a}{b}} b,$$ при $$a<b$$: $$x>2\log_{\frac{a}{b}} b;$$ г) $$(-\infty;+\infty).$$
