Упр.191 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите неравенства:
   а) $$2^x+2^{|x|}\ ?\ 2v2$$;
   б) $$25\cdot2^x-10^x+5^x>25$$;
   в) $$a^x г) $$\frac{2^{x-1}-1}{2^{x+1}+1}<2$$.

а) Рассмотрим два случая.

Если $$x \ge 0,$$ то $$|x|=x,$$ и неравенство принимает вид

$$2^x+2^x \ge 2\sqrt2,$$

$$2\cdot 2^x \ge 2\cdot 2^{0,5},$$

$$2^{x+1}\ge 2^{1,5},$$

откуда $$x+1\ge \frac32,$$ то есть $$x\ge \frac12.$$

Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ и получаем

$$2^x+2^{-x}\ge 2\sqrt2.$$

Положим $$t=2^x,  t>0.$$ Тогда

$$t+\frac1t\ge 2\sqrt2,$$

$$t^2-2\sqrt2\,t+1\ge 0.$$

Найдём корни:

$$D=(2\sqrt2)^2-4=8-4=4,$$

$$t_{1,2}=\frac{2\sqrt2\pm 2}{2}=\sqrt2\pm 1.$$

Так как ветви параболы направлены вверх, то

$$t\le \sqrt2-1 \quad \text{или} \quad t\ge \sqrt2+1.$$

Возвращаясь к $$t=2^x,$$ получаем

$$x\le \log_2(\sqrt2-1) \quad \text{или} \quad x\ge \log_2(\sqrt2+1).$$

С учётом условия $$x<0$$ подходит только

$$x\le \log_2(\sqrt2-1).$$

Итак,

$$x\in (-\infty;\log_2(\sqrt2-1)]\cup \left[\frac12;+\infty\right).$$

б) Преобразуем неравенство:

$$25\cdot 2^x-10^x+5^x>25,$$

$$25\cdot 2^x-25>10^x-5^x,$$

$$25(2^x-1)>5^x(2^x-1).$$

Перенесём всё в одну сторону и разложим на множители:

$$25(2^x-1)-5^x(2^x-1)>0,$$

$$\bigl(25-5^x\bigr)(2^x-1)>0,$$

$$\bigl(5^2-5^x\bigr)\bigl(2^x-1\bigr)>0,$$

$$\bigl(5^{2}-5^x\bigr)\bigl(2^x-2^0\bigr)>0.$$

Так как $$5^x$$ и $$2^x$$ возрастают, получаем

$$x<2 \quad \text{и} \quad x>0.$$

Следовательно,

$$x\in(0;2).$$

в) Имеем

$$a^x<b^{x+2}=b^2\cdot b^x.$$

Делим на $$b^x>0$$:

$$\left(\frac{a}{b}\right)^x<b^2.$$

Дальше ответ зависит от того, больше или меньше $$a$$ числа $$b$$:

• если $$a>b,$$ то функция $$\left(\frac{a}{b}\right)^x$$ возрастает, и тогда $$x<2\log_{\frac{a}{b}} b$$;
• если $$a<b,$$ то функция $$\left(\frac{a}{b}\right)^x$$ убывает, и тогда $$x>2\log_{\frac{a}{b}} b.$$

г) Рассмотрим неравенство

$$\frac{2^{x-1}-1}{2^{x+1}+1}<2.$$

Знаменатель всегда положителен, поэтому можно умножить на него:

$$2^{x-1}-1<2\bigl(2^{x+1}+1\bigr),$$

$$2^{x-1}-1<2^{x+2}+2.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$2^{x-1}-2^{x+2}<3,$$

$$2^{x-1}(1-8)<3,$$

$$-7\cdot 2^{x-1}<3.$$

Так как левая часть отрицательна при любом $$x,$$ а правая положительна, неравенство выполняется при всех $$x\in\mathbb R.$$

Ответ

а) $$(-\infty;\log_2(\sqrt2-1)]\cup \left[\frac12;+\infty\right);$$ б) $$(0;2);$$ в) если $$a>b,$$ то $$x<2\log_{\frac{a}{b}} b,$$ если $$a<b,$$ то $$x>2\log_{\frac{a}{b}} b;$$ г) $$(-\infty;+\infty).$$