Упр.190 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 190. При каких значениях а уравнение a(2^x+2^(-x))=5 имеет единственное решение?

Подробный ответ

Рассмотрим уравнение

$$a\left(2^x+2^{-x}\right)=5.$$

Положим $$y=2^x,$$ тогда $$y>0$$ и $$2^{-x}=\frac{1}{y}.$$ Получаем

$$a\left(y+\frac{1}{y}\right)=5,$$

или

$$ay^2-5y+a=0.$$

Это квадратное уравнение относительно $$y$$. Чтобы исходное уравнение имело единственное решение по $$x$$, нужно, чтобы уравнение по $$y$$ имело единственный положительный корень.

Найдём дискриминант:

$$D=25-4a^2.$$

1) Если $$D<0,$$ то действительных корней нет.

2) Если $$D>0,$$ то уравнение по $$y$$ имеет два различных корня. При этом произведение корней равно

$$\frac{a}{a}=1,$$

значит, оба корня положительны или оба отрицательны. Но отрицательные корни не подходят, а положительных тогда было бы два, что даёт два решения по $$x$$.

3) Единственный корень получается при $$D=0$$:

$$25-4a^2=0,$$

$$4a^2=25,$$

$$a=\pm \frac{5}{2}.$$

Проверим знак. При $$a=-\frac{5}{2}$$ левая часть уравнения отрицательна, а правая равна $$5>0,$$ решений нет. При $$a=\frac{5}{2}$$ получаем

$$2^x+2^{-x}=2,$$

откуда при $$y=2^x$$:

$$y+\frac{1}{y}=2,$$

$$y^2-2y+1=0,$$

$$\left(y-1\right)^2=0,$$

$$y=1,$$

$$2^x=1,$$