Упр.190 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) {tg(x)+tg(y)=2, cos(x)cos(y)=1/2};
б) {x+y=5?/2, sin(x)+cos(2y)=-1};
в) {sin(x)sin(y)=1/4, ctg(x)ctg(y)=3};
г) {cos(2y)+cos(x)=1, x+y=?/2}.

а)

$$\tg x+\tg y=2,\qquad \cos x\cos y=\frac12.$$

Из первого уравнения:
$$\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\sin y}{\cos y}=2,$$
$$\frac{\sin x\cos y+\sin y\cos x}{\cos x\cos y}=2.$$
Так как $$\cos x\cos y=\frac12,$$ то
$$\sin(x+y)=1.$$
Следовательно,
$$x+y=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.$$

Подставим $$y=\frac{\pi}{2}-x+2\pi k$$ во второе уравнение:
$$\cos x\cos\left(\frac{\pi}{2}-x+2\pi k\right)=\frac12,$$
$$\cos x\sin x=\frac12,$$
$$\sin 2x=1.$$
Отсюда
$$2x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$
Тогда
$$y=\frac{\pi}{2}-x+2\pi k=\frac{\pi}{4}+\pi n+2\pi k.$$

б)

$$x+y=\frac{5\pi}{2},\qquad \sin x+\cos 2y=-1.$$

Из первого уравнения:
$$y=\frac{5\pi}{2}-x.$$
Тогда
$$\sin x+\cos\left(5\pi-2x\right)=-1,$$
$$\sin x-\cos 2x=-1.$$
Так как $$\cos 2x=1-2\sin^2 x,$$ получаем
$$\sin x-(1-2\sin^2 x)=-1,$$
$$2\sin^2 x+\sin x=0,$$
$$\sin x(2\sin x+1)=0.$$

1) $$\sin x=0,$$ тогда
$$x=\pi n,\qquad y=\frac{5\pi}{2}-\pi n.$$

2) $$\sin x=-\frac12,$$ тогда
$$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z,$$
и
$$y=\frac{5\pi}{2}-x=\frac{5\pi}{2}+(-1)^n\frac{\pi}{6}-\pi n.$$

в)

$$\sin x\sin y=\frac14,\qquad \ctg x\ctg y=3.$$

Из второго уравнения:
$$\frac{\cos x\cos y}{\sin x\sin y}=3,$$
$$\cos x\cos y=\frac34.$$
Тогда
$$\sin x\sin y+\cos x\cos y=1,$$
$$\cos(x-y)=1,$$
$$x-y=2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.$$
Значит, $$y=x-2\pi k.$$ Подставим в первое уравнение:
$$\sin x\sin(x-2\pi k)=\frac14,$$
то есть
$$\sin^2 x=\frac14.$$
Отсюда
$$\sin x=\pm\frac12,$$
$$\cos 2x=\frac12.$$
Следовательно,
$$2x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z,$$
$$x=\pm\frac{\pi}{6}+\pi n.$$
Тогда
$$y=x-2\pi k.$$

г)

$$\cos 2y+\cos x=1,\qquad x+y=\frac{\pi}{2}.$$

Из второго уравнения:
$$y=\frac{\pi}{2}-x.$$
Подставим в первое:
$$\cos(\pi-2x)+\cos x=1,$$
$$-\cos 2x+\cos x=1.$$
Так как $$\cos 2x=2\cos^2 x-1,$$ получаем
$$1-2\cos^2 x+\cos x=1,$$
$$\cos x-2\cos^2 x=0,$$
$$\cos x(1-2\cos x)=0.$$

1) $$\cos x=0,$$ тогда
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad y=-\pi n.$$

2) $$\cos x=\frac12,$$ тогда
$$x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n.$$
Соответственно,
$$y=\frac{\pi}{2}-x,$$
то есть
$$y=\frac{\pi}{6}-2\pi n \quad \text{или} \quad y=\frac{5\pi}{6}-2\pi n.$$

Ответ

а) $$\left(\frac{\pi}{4}+\pi n;\ \frac{\pi}{4}+\pi n+2\pi k\right),\quad n,k\in\mathbb Z.$$
б) $$\left(\pi n;\ \frac{5\pi}{2}-\pi n\right),\quad \left((-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n;\ \frac{5\pi}{2}+(-1)^n\frac{\pi}{6}-\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$
в) $$\left(-\frac{\pi}{6}+\pi n;\ -\frac{\pi}{6}+\pi n-2\pi k\right),\ \left(\frac{\pi}{6}+\pi n;\ \frac{\pi}{6}+\pi n-2\pi k\right),\quad n,k\in\mathbb Z.$$
г) $$\left(\frac{\pi}{2}+\pi n;\ -\pi n\right),\ \left(-\frac{\pi}{3}+2\pi n;\ \frac{5\pi}{6}-2\pi n\right),\ \left(\frac{\pi}{3}+2\pi n;\ \frac{\pi}{6}-2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$