Упр.190 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

При каких значениях $$a$$ уравнение $$a\left(2^x+2^{-x}\right)=5$$ имеет единственное решение?

Подробный ответ

Рассмотрим уравнение

$$a\left(2^x+2^{-x}\right)=5.$$

Положим $$y=2^x,$$ тогда $$y>0$$ и $$2^{-x}=\frac1y.$$ Получаем

$$a\left(y+\frac1y\right)=5,$$

или

$$ay^2-5y+a=0.$$

Это квадратное уравнение относительно $$y$$. Чтобы исходное уравнение имело единственное решение по $$x$$, нужно, чтобы уравнение по $$y$$ имело единственный положительный корень.

Найдём дискриминант:

$$D=25-4a^2.$$

1) Если $$D>0,$$ то уравнение по $$y$$ имеет два различных корня. Тогда, поскольку произведение корней равно $$\frac{a}{a}=1,$$ оба корня положительны и дают два различных значения $$x$$. Единственного решения нет.

2) Если $$D<0,$$ действительных корней нет, значит решений нет.

3) Единственный корень возможен только при $$D=0.$$ Тогда

$$25-4a^2=0,$$

$$a^2=\frac{25}{4},$$

$$a=\pm\frac52.$$

Проверим знак $$a$$. Так как

$$2^x+2^{-x}\ge 2,$$

левая часть уравнения имеет знак, совпадающий со знаком $$a$$. Правая часть равна $$5>0,$$ значит $$a>0.$$

Следовательно, подходит только

$$a=\frac52.$$

При этом уравнение имеет единственное решение.