Упр.19 Глава 1 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1) Основные свойства функции $$y=\cos x$$:

• $$D(y)=\mathbb{R}$$;
• $$E(y)=[-1;1]$$;
• функция чётная;
• период $$T=2\pi$$;
• $$\cos x=0$$ при $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb{Z}$$;
• $$\cos x>0$$ при $$x\in\left(-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\frac{\pi}{2}+2\pi n\right)$$;
• $$\cos x<0$$ при $$x\in\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n;\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right)$$;
• возрастает на $$\left[-\pi+2\pi n;2\pi n\right]$$;
• убывает на $$\left[2\pi n;\pi+2\pi n\right]$$;
• $$x_{\min}=\pi+2\pi n,\; y_{\min}=-1$$;
• $$x_{\max}=2\pi n,\; y_{\max}=1$$, где $$n\in\mathbb{Z}$$.

2) Упорядочим числа по возрастанию, учитывая, что на промежутке $$[0;\pi]$$ функция $$\cos x$$ убывает, а на $$[\pi;2\pi]$$ возрастает:

1. $$0<0{,}3<1{,}8<\pi<2{,}9$$, значит
   $$\cos(-2{,}9)<\cos(1{,}8)<\cos(0{,}3).$$
2. $$\pi<4{,}4<5{,}3<6{,}2<2\pi$$, значит
   $$\cos(4{,}4)<\cos(5{,}3)<\cos(6{,}2).$$
3. $$0<0{,}5<1{,}3<3<\pi$$, значит
   $$\cos 3<\cos(-1{,}3)<\cos(0{,}5).$$
4. $$\pi<3{,}5<4{,}9<6{,}1<2\pi$$, значит
   $$\cos(3{,}5)<\cos(4{,}9)<\cos(6{,}1).$$

3) Исследуем функции:

1. $$y=\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right),\quad x\in\mathbb{R}$$
   • $$D(y)=\mathbb{R}$$, $$E(y)=[-1;1]$$, $$T=2\pi$$;
   • функция чётная не является;
   • $$y=0$$ при $$x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\; n\in\mathbb{Z}$$;
   • $$y>0$$ при $$x\in\left(-\frac{2\pi}{3}+2\pi n;\frac{\pi}{3}+2\pi n\right)$$;
   • $$y<0$$ при $$x\in\left(\frac{\pi}{3}+2\pi n;\frac{4\pi}{3}+2\pi n\right)$$;
   • возрастает на $$\left[-\frac{7\pi}{6}+2\pi n;-\frac{\pi}{6}+2\pi n\right]$$;
   • убывает на $$\left[-\frac{\pi}{6}+2\pi n;\frac{5\pi}{6}+2\pi n\right]$$;
   • $$x_{\min}=-\frac{7\pi}{6}+2\pi n,\; y_{\min}=-1$$;
   • $$x_{\max}=-\frac{\pi}{6}+2\pi n,\; y_{\max}=1$$.
2. $$y=-\cos x,\quad x\in\mathbb{R}$$
   • $$D(y)=\mathbb{R}$$, $$E(y)=[-1;1]$$, $$T=2\pi$$;
   • функция чётная;
   • $$y=0$$ при $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb{Z}$$;
   • $$y>0$$ при $$x\in\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n;\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right)$$;
   • $$y<0$$ при $$x\in\left(-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\frac{\pi}{2}+2\pi n\right)$$;
   • возрастает на $$\left[2\pi n;\pi+2\pi n\right]$$;
   • убывает на $$\left[-\pi+2\pi n;2\pi n\right]$$;
   • $$x_{\min}=2\pi n,\; y_{\min}=-1$$;
   • $$x_{\max}=\pi+2\pi n,\; y_{\max}=1$$.
3. $$y=2\cos x-1,\quad x\in\mathbb{R}$$
   • $$D(y)=\mathbb{R}$$, $$E(y)=[-3;1]$$, $$T=2\pi$$;
   • функция чётная;
   • $$y=0$$ при $$x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\; n\in\mathbb{Z}$$;
   • $$y>0$$ при $$x\in\left(-\frac{\pi}{3}+2\pi n;\frac{\pi}{3}+2\pi n\right)$$;
   • $$y<0$$ при $$x\in\left(\frac{\pi}{3}+2\pi n;\frac{5\pi}{3}+2\pi n\right)$$;
   • возрастает на $$\left[-\pi+2\pi n;2\pi n\right]$$;
   • убывает на $$\left[2\pi n;\pi+2\pi n\right]$$;
   • $$x_{\min}=\pi+2\pi n,\; y_{\min}=-3$$;
   • $$x_{\max}=2\pi n,\; y_{\max}=1$$.
4. $$y=\cos\frac{x}{2},\quad x\in\mathbb{R}$$
   • $$D(y)=\mathbb{R}$$, $$E(y)=[-1;1]$$, $$T=4\pi$$;
   • функция чётная;
   • $$y=0$$ при $$x=\pi+2\pi n,\; n\in\mathbb{Z}$$;
   • $$y>0$$ при $$x\in\left(-\pi+4\pi n;\pi+4\pi n\right)$$;
   • $$y<0$$ при $$x\in\left(\pi+4\pi n;3\pi+4\pi n\right)$$;
   • возрастает на $$\left[-2\pi+4\pi n;4\pi n\right]$$;
   • убывает на $$\left[4\pi n;2\pi+4\pi n\right]$$;
   • $$x_{\min}=2\pi+4\pi n,\; y_{\min}=-1$$;
   • $$x_{\max}=4\pi n,\; y_{\max}=1$$.

Ответ:

1) $$D(x)=\mathbb{R},\; E(y)=[-1;1],\; T=2\pi$$; функция чётная; нули: $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$; максимум $$1$$, минимум $$-1$$.

2) а) $$\cos(-2{,}9)<\cos(1{,}8)<\cos(0{,}3)$$; б) $$\cos(4{,}4)<\cos(5{,}3)<\cos(6{,}2)$$; в) $$\cos 3<\cos(-1{,}3)<\cos(0{,}5)$$; г) $$\cos(3{,}5)<\cos(4{,}9)<\cos(6{,}1)$$.

3) Для всех четырёх функций указаны область определения, множество значений, период, промежутки знакопостоянства, возрастания и убывания, а также точки максимума и минимума.