Упр.19 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Может ли быть рациональным числом: а) сумма двух иррациональных чисел; б) иррациональное число в иррациональной степени?

Рассмотрим оба случая.

1. Сумма двух иррациональных чисел может быть рациональным числом. Например,

   $$\left(1-\sqrt{2}\right)+\left(1+\sqrt{2}\right)=2.$$

   Оба слагаемых иррациональны, а сумма рациональна.

2. Иррациональное число в иррациональной степени тоже может быть рациональным. Например,

   $$\left(\sqrt{3}\right)^{2\log_3 5}=3^{\log_3 5}=5.$$

   Здесь основание $$\sqrt{3}$$ иррационально, показатель $$2\log_3 5$$ также иррационален, а значение степени рационально.

Ответ: да, может.