Упр.189 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) 2^sin^2(x)+4·2^cos^2(x)=6; б) 3^lg(tg(x))-2·3^(lg(ctg(x))+1=1;
в) 4^(3+2cos(2x))-7·4^(1+cos(2x))=4^(1/2); г) (2sin(x))^cos(x)=1.

1. а) $$2^{\sin^2 x}+4\cdot 2^{\cos^2 x}=6.$$

   Так как $$\sin^2 x=1-\cos^2 x,$$ получаем

   $$2^{1-\cos^2 x}+4\cdot 2^{\cos^2 x}=6.$$

   Положим $$y=2^{\cos^2 x}.$$ Тогда

   $$\frac{2}{y}+4y=6,$$

   $$2y^2-3y+1=0,$$

   $$D=9-8=1,$$

   $$y_1=\frac{3-1}{4}=\frac12,\qquad y_2=\frac{3+1}{4}=1.$$

   Если $$y=\frac12,$$ то $$2^{\cos^2 x}=\frac12=2^{-1},$$ значит $$\cos^2 x=-1,$$ что невозможно.

   Если $$y=1,$$ то $$2^{\cos^2 x}=1,$$ откуда $$\cos^2 x=0,$$ значит $$\cos x=0.$$

   Тогда

   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. б) $$3^{\lg(\tg x)}-2\cdot 3^{\lg(\ctg x)+1}=1.$$

   Так как $$\ctg x=\frac1{\tg x},$$ то

   $$3^{\lg(\ctg x)+1}=3\cdot 3^{\lg(1/\tg x)}=3\cdot 3^{-\lg(\tg x)}.$$

   Получаем

   $$3^{\lg(\tg x)}-6\cdot 3^{-\lg(\tg x)}=1.$$

   Положим $$y=3^{\lg(\tg x)}.$$ Тогда

   $$y-\frac{6}{y}=1,$$

   $$y^2-y-6=0,$$

   $$D=1+24=25,$$

   $$y_1=\frac{1-5}{2}=-2,\qquad y_2=\frac{1+5}{2}=3.$$

   Так как $$y=3^{\lg(\tg x)}>0,$$ значение $$y=-2$$ не подходит.

   При $$y=3$$ имеем

   $$3^{\lg(\tg x)}=3,$$

   $$\lg(\tg x)=1,$$

   $$\tg x=10.$$

   Следовательно,

   $$x=\arctg 10+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3. в) $$4^{3+2\cos 2x}-7\cdot 4^{1+\cos 2x}=4^{1/2}.$$

   Преобразуем:

   $$64\cdot 4^{2\cos 2x}-7\cdot 4\cdot 4^{\cos 2x}=2.$$

   Положим $$y=4^{\cos 2x}.$$ Тогда

   $$64y^2-28y=2,$$

   $$32y^2-14y-1=0.$$

   $$D=14^2+4\cdot 32\cdot 1=196+128=324,$$

   $$y_1=\frac{14-18}{64}=-\frac{1}{16},\qquad y_2=\frac{14+18}{64}=\frac12.$$

   Так как $$y=4^{\cos 2x}>0,$$ значение $$y=-\frac{1}{16}$$ не подходит.

   При $$y=\frac12$$ получаем

   $$4^{\cos 2x}=\frac12,$$

   $$2^{2\cos 2x}=2^{-1},$$

   $$2\cos 2x=-1,$$

   $$\cos 2x=-\frac12.$$

   Тогда

   $$2x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,$$

   $$x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4. г) $$(2\sin x)^{\cos x}=1.$$

   Чтобы степень была равна $$1,$$ возможны два случая:

   1) $$2\sin x=1,$$ тогда

   $$\sin x=\frac12,$$

   $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   2) $$\cos x=0,$$ тогда

   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   При этом нужно, чтобы основание было положительным: $$2\sin x>0.$$ Для $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$ это выполняется только при $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n;$$ б) $$x=\arctg 10+\pi n;$$ в) $$x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n;$$ г) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\ \frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$