Упр.189 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
а) {sin(x)cos(y)=0,25, sin(y)cos(x)=0,75};
б) {x-y=-1/3, cos^2(?x)-cos^2(?y)=0};
в) {4sin(x)sin(y)=3, tg(x)tg(y)=3};
г) {sin^2(x)=cos(x)cos(y), cos^2(x)=sin(x)sin(y)}.
а)
Сложим уравнения системы:
$$\sin x \cos y+\sin y \cos x=1.$$
Тогда
$$\sin(x+y)=1,$$
откуда
$$x+y=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Подставим во второе уравнение:
$$\sin y\cos x=\sin\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n-x\right)\cos x=\cos x\cos x=\cos^2 x?$$
Удобнее выразить $y$:
$$y=\frac{\pi}{2}+2\pi n-x.$$
Тогда из первого уравнения
$$\sin x\cos\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n-x\right)=\frac14,$$
$$\sin x\sin x=\frac14,$$
$$\sin^2 x=\frac14,$$
$$\cos 2x=\frac12.$$
Следовательно,
$$2x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z,$$
$$x=\pm\frac{\pi}{6}+\pi k.$$
Тогда
$$y=\frac{\pi}{2}+2\pi n-x.$$
Итак,
$$\left(\frac{\pi}{6}+\pi k,\ \frac{\pi}{3}+2\pi n-\pi k\right),\quad \left(-\frac{\pi}{6}+\pi k,\ \frac{2\pi}{3}+2\pi n-\pi k\right),\quad k,n\in\mathbb Z.$$
б)
Из первого уравнения:
$$y=x+\frac13.$$
Второе уравнение преобразуем:
$$\cos^2(\pi x)-\cos^2(\pi y)=0,$$
$$\bigl(\cos(\pi x)-\cos(\pi y)\bigr)\bigl(\cos(\pi x)+\cos(\pi y)\bigr)=0.$$
Используем формулы произведения в сумму:
$$\sin(\pi x+\pi y)\sin(\pi x-\pi y)=0.$$
Так как $$y=x+\frac13,$$ то
$$\pi x-\pi y=-\frac{\pi}{3},$$
а значит
$$\sin\left(2\pi x+\frac{\pi}{3}\right)=0.$$
Отсюда
$$2\pi x+\frac{\pi}{3}=\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
$$x=\frac{n}{2}-\frac16.$$
Тогда
$$y=x+\frac13=\frac{n}{2}+\frac16.$$
Ответ:
$$\left(\frac{n}{2}-\frac16,\ \frac{n}{2}+\frac16\right),\quad n\in\mathbb Z.$$
в)
Из первого уравнения:
$$\sin x\sin y=\frac34.$$
Из второго:
$$\tg x\tg y=3,$$
то есть
$$\frac{\sin x\sin y}{\cos x\cos y}=3,$$
следовательно,
$$\cos x\cos y=\frac14.$$
Тогда
$$\sin x\sin y+\cos x\cos y=1,$$
$$\cos(x-y)=1,$$
$$x-y=2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$
Пусть $$y=x-2\pi k.$$ Тогда
$$4\sin x\sin(x-2\pi k)=3,$$
$$4\sin^2 x=3,$$
$$\sin^2 x=\frac34,$$
$$\cos 2x=-\frac12.$$
Отсюда
$$2x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
$$x=\pm\frac{\pi}{3}+\pi n.$$
Тогда
$$y=x-2\pi k.$$
Ответ:
$$\left(-\frac{\pi}{3}+\pi n+\pi k,\ -\frac{\pi}{3}+\pi n-\pi k\right),\quad \left(\frac{\pi}{3}+\pi n+\pi k,\ \frac{\pi}{3}+\pi n-\pi k\right),\quad n,k\in\mathbb Z.$$
г)
Сложим уравнения:
$$\sin^2 x+\cos^2 x=\cos x\cos y+\sin x\sin y,$$
$$1=\cos(x-y).$$
Значит,
$$x-y=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
то есть
$$y=x-2\pi n.$$
Подставим во второе уравнение:
$$\cos^2 x=\sin x\sin(x-2\pi n)=\sin^2 x.$$
Следовательно,
$$\cos^2 x=\sin^2 x,$$
$$\cos 2x=0,$$
$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2},\quad k\in\mathbb Z.$$
Тогда
$$y=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}-2\pi n.$$
Ответ:
$$\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2},\ \frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}-2\pi n\right),\quad k,n\in\mathbb Z.$$
Ответ
а) $$\left(\frac{\pi}{6}+\pi k,\ \frac{\pi}{3}+2\pi n-\pi k\right),\ \left(-\frac{\pi}{6}+\pi k,\ \frac{2\pi}{3}+2\pi n-\pi k\right),\ k,n\in\mathbb Z;$$
б) $$\left(\frac{n}{2}-\frac16,\ \frac{n}{2}+\frac16\right),\ n\in\mathbb Z;$$
в) $$\left(-\frac{\pi}{3}+\pi n+\pi k,\ -\frac{\pi}{3}+\pi n-\pi k\right),\ \left(\frac{\pi}{3}+\pi n+\pi k,\ \frac{\pi}{3}+\pi n-\pi k\right),\ n,k\in\mathbb Z;$$
г) $$\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2},\ \frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}-2\pi n\right),\ k,n\in\mathbb Z.$$
