Упр.189 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнения: а) $$2^{\sin^2(x)}+4\cdot2^{\cos^2(x)}=6$$; б) $$3^{\lg(\tg(x))}-2\cdot3^{\lg(\ctg(x))+1}=1$$; в) $$4^{3+2\cos(2x)}-7\cdot4^{1+\cos(2x)}=4^{1/2}$$; г) $$(2\sin(x))^{\cos(x)}=1$$.

а) $$2^{\sin^2 x}+4\cdot 2^{\cos^2 x}=6.$$

Так как $$\sin^2 x=1-\cos^2 x,$$ получаем

$$2^{1-\cos^2 x}+4\cdot 2^{\cos^2 x}=6.$$

Положим $$y=2^{\cos^2 x}.$$ Тогда

$$\frac{2}{y}+4y=6,$$

$$2y^2-3y+1=0.$$

$$D=9-8=1,$$

$$y_1=\frac{3-1}{4}=\frac12,\qquad y_2=\frac{3+1}{4}=1.$$

1) $$2^{\cos^2 x}=\frac12,$$ то есть $$\cos^2 x=-1,$$ что невозможно.

2) $$2^{\cos^2 x}=1,$$ значит $$\cos^2 x=0,$$ откуда $$\cos x=0.$$

Следовательно,

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$3^{\lg(\tg x)}-2\cdot 3^{\lg(\ctg x)+1}=1.$$

Так как $$\ctg x=\frac1{\tg x},$$ то

$$3^{\lg(\ctg x)+1}=3\cdot 3^{\lg\left(\frac1{\tg x}\right)}=3\cdot 3^{-\lg(\tg x)}.$$

Тогда

$$3^{\lg(\tg x)}-6\cdot 3^{-\lg(\tg x)}=1.$$

Положим $$y=3^{\lg(\tg x)}.$$ Тогда

$$y-\frac6y=1,$$

$$y^2-y-6=0.$$

$$D=1+24=25,$$

$$y_1=\frac{1-5}{2}=-2,\qquad y_2=\frac{1+5}{2}=3.$$

Так как $$y=3^{\lg(\tg x)}>0,$$ то подходит только $$y=3.$$

Значит,

$$3^{\lg(\tg x)}=3,\qquad \lg(\tg x)=1,$$

$$\tg x=10.$$

Следовательно,

$$x=\arctg 10+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

в) $$4^{3+2\cos 2x}-7\cdot 4^{1+\cos 2x}=4^{1/2}.$$

Преобразуем:

$$64\cdot 4^{2\cos 2x}-7\cdot 4^{\cos 2x}=2.$$

Положим $$y=4^{\cos 2x}.$$ Тогда

$$64y^2-7y=2,$$

$$64y^2-7y-2=0.$$

$$D=49+512=561.$$

Удобнее заметить, что исходное уравнение можно переписать как

$$4^{1+\cos 2x}\bigl(4^{2+\cos 2x}-7\bigr)=2,$$

и после подстановки $$y=2^{\cos 2x}$$ получаем

$$32y^2-14y-1=0.$$

Тогда

$$D=196+128=324,$$

$$y_1=\frac{14-18}{64}=-\frac1{16},\qquad y_2=\frac{14+18}{64}=\frac12.$$

Так как $$y=2^{\cos 2x}>0,$$ то подходит только

$$2^{\cos 2x}=\frac12=2^{-1}.$$

Следовательно,

$$\cos 2x=-1,$$

$$2x=\pi+2\pi n,$$

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

г) $$\bigl(2\sin x\bigr)^{\cos x}=1.$$

Чтобы степень была определена, нужно $$2\sin x>0,$$ то есть $$\sin x>0.$$

Равенство $$a^b=1$$ выполняется в двух случаях:

• $$a=1,$$ тогда $$2\sin x=1,$$ откуда $$\sin x=\frac12,$$ и
• $$b=0,$$ тогда $$\cos x=0.$$

1) Если $$\sin x=\frac12,$$ то

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) Если $$\cos x=0,$$ то

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n.$$

Но при $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n$$ имеем $$\sin x=-1,$$ что не подходит из-за условия $$\sin x>0.$$ Поэтому остаётся

$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: а) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$; б) $$x=\arctg 10+\pi n$$; в) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$; г) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\ \frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$