Упр.188 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Решите системы уравнений:

1. $$\begin{cases}\sqrt{x}+\sqrt{y}=26,\\ x^{\frac14}+y^{\frac14}=6;\end{cases}$$
2. $$\begin{cases}x^{\frac13}-y^{\frac13}=3\frac34,\\ xy=1;\end{cases}$$
3. $$\begin{cases}\sqrt{x}-\sqrt{y}=5,\\ x^{\frac14}-y^{\frac14}=1;\end{cases}$$
4. $$\begin{cases}x^{\frac13}+y^{\frac13}=-3,\\ xy=8.\end{cases}$$

а) Обозначим $$u=\sqrt[4]{x}, \quad v=\sqrt[4]{y}.$$ Тогда система принимает вид

$$\begin{cases} u^2+v^2=26,\\ u+v=6. \end{cases}$$

Из второго уравнения $$v=6-u.$$ Подставим в первое:

$$u^2+(6-u)^2=26,$$

$$u^2+36-12u+u^2=26,$$

$$2u^2-12u+10=0,$$

$$u^2-6u+5=0.$$

$$D=36-20=16,$$

$$u_{1,2}=\frac{6\pm 4}{2}.$$

Получаем $$u_1=1,$$ $$u_2=5.$$ Тогда

$$x_1=1^4=1,\quad y_1=5^4=625;$$

$$x_2=5^4=625,\quad y_2=1^4=1.$$

Ответ: $$(1;625),\ (625;1).$$

б) Пусть $$u=\sqrt[3]{x}, \quad v=\sqrt[3]{y}.$$ Тогда

$$\begin{cases} u-v=3\frac34=\frac{15}{4},\\ xy=1. \end{cases}$$

Из условия $$xy=1$$ имеем $$y=\frac1x,$$ значит

$$v=\sqrt[3]{y}=\frac1{\sqrt[3]{x}}=\frac1u.$$

Тогда первое уравнение:

$$u-\frac1u=\frac{15}{4}.$$

Умножим на $$u$$:

$$u^2-\frac{15}{4}u-1=0,$$

$$4u^2-15u-4=0.$$

$$D=15^2+64=289,$$

$$u_{1,2}=\frac{15\pm 17}{8}.$$

Получаем $$u_1=-\frac14,$$ $$u_2=4.$$ Тогда

$$x_1=\left(-\frac14\right)^3=-\frac1{64},\quad y_1=\frac1{x_1}=-64;$$

$$x_2=4^3=64,\quad y_2=\frac1{64}.$$

Ответ: $$\left(-\frac1{64};-64\right),\ \left(64;\frac1{64}\right).$$

в) Обозначим $$u=\sqrt[4]{x}, \quad v=\sqrt[4]{y}.$$ Тогда система имеет вид

$$\begin{cases} u-v=5,\\ u-v=1 \end{cases}$$

Удобнее использовать произведение суммы и разности:

$$(\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y})(\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y})=5.$$

Так как $$\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y}=1,$$ то

$$\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}=5.$$

Решаем систему

$$\begin{cases} u-v=1,\\ u+v=5. \end{cases}$$

Складываем уравнения:

$$2u=6,\quad u=3.$$

Тогда $$v=2.$$ Следовательно,

$$x=3^4=81,\quad y=2^4=16.$$

Ответ: $$(81;16).$$

г) Пусть $$u=\sqrt[3]{x}, \quad v=\sqrt[3]{y}.$$ Тогда

$$\begin{cases} u+v=-3,\\ xy=8. \end{cases}$$

Из $$xy=8$$ получаем $$y=\frac8x,$$ значит

$$v=\sqrt[3]{y}=\sqrt[3]{\frac8x}=\frac2u.$$

Тогда

$$u+\frac2u=-3.$$

Умножим на $$u$$:

$$u^2+2=-3u,$$

$$u^2+3u+2=0.$$

$$D=9-8=1,$$

$$u_{1,2}=\frac{-3\pm 1}{2}.$$

Получаем $$u_1=-1,$$ $$u_2=-2.$$ Тогда

$$x_1=(-1)^3=-1,\quad y_1=\frac8{-1}=-8;$$

$$x_2=(-2)^3=-8,\quad y_2=\frac8{-8}=-1.$$

Ответ: $$(-1;-8),\ (-8;-1).$$